Докажите, что результат композиции двух функций, каждая из которых убывает

Question

Алгебра: Докажите, что результат композиции двух функций, каждая из которых убывает, также будет убывающей функцией

Parovoz · Accepted Answer

Чтобы дать полное и обстоятельное доказательство, давайте рассмотрим две убывающие функции \(f(x)\) и \(g(x)\). Для следования доказательству, нам понадобятся определенные предпосылки.

1. Предположение 1: Функция \(f(x)\) является убывающей. Это означает, что при увеличении значения аргумента \(x\), значения функции \(f(x)\) уменьшаются. То есть, если \(a < b\), то \(f(a) > f(b)\).

2. Предположение 2: Функция \(g(x)\) также является убывающей. Это означает, что при увеличении значения аргумента \(x\), значения функции \(g(x)\) уменьшаются. То есть, если \(c < d\), то \(g(c) > g(d)\).

Теперь давайте рассмотрим композицию этих двух функций, обозначим ее \(h(x) = g(f(x))\). Чтобы доказать, что \(h(x)\) тоже является убывающей функцией, нам нужно показать, что при \(e < f\), значения \(h(e)\) больше, чем значения \(h(f)\).

Пусть \(e < f\). Тогда можно записать:
\[h(e) = g(f(e))\]
\[h(f) = g(f(f))\]

Так как \(f\) убывает, то \(f(e) > f(f)\). А так как \(g\) также убывает, то \(g(f(e)) > g(f(f))\).

Таким образом, \(h(e) > h(f)\) для любых \(e < f\), что означает, что функция \(h(x)\) также является убывающей.

Доказательство завершено. Мы показали, что для двух убывающих функций, композиция этих функций также является убывающей функцией.

Докажите, что результат композиции двух функций, каждая из которых убывает, также будет убывающей функцией

Parovoz

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!