Докажите, что расстояние от каждой из вершин треугольника до прямой, проведенной через середины двух его сторон

1. Докажем, что расстояние от вершины A до прямой, проведенной через середины сторон BC и AC, равно расстоянию от вершины B до этой же прямой.

Пусть M и N - середины сторон BC и AC соответственно. Проведем медиану CM. Обозначим точку пересечения медианы CM и прямой, проведенной через середины сторон, как P.

Из свойства медианы треугольника следует, что точка P делит медиану CM на две равные части. Это означает, что MP = PC.

Также из равенства треугольников AMC и BPC следует, что угол AMC равен углу BPC (по двум сторонам и углу между ними).

Теперь рассмотрим треугольник AMP и треугольник BPС. У них равны углы MPA и CPB (по построению), равные углы AMP и BPC (по доказанному ранее), а также равны стороны MP и PC (по равенству медианы MP = PC).

Из этих равенств следует, что треугольники AMP и BPС равны по теореме "по стороне-углу-стороне". Следовательно, AM = BP, что означает равенство расстояний от вершины A до прямой, проведенной через середины сторон BC и AC.

Аналогично можно доказать, что расстояние от вершины B до этой же прямой также равно расстоянию от вершины C до нее.

Таким образом, мы доказали, что расстояние от каждой из вершин треугольника до прямой, проведенной через середины сторон, одинаково.

2. Докажем, что прямоугольные треугольники, имеющие общий катет и проведенную к нему медиану, равны.

Пусть прямоугольные треугольники ABC и ABD имеют общий катет AB и проведенную к нему медиану AM (где M - середина AB).

Из определения медианы следует, что AM делит сторону BC пополам, то есть BM = MC. Поскольку треугольник ABC прямоугольный со сторонами BC и AB (угол B равен 90 градусов), тогда AM является высотой этого треугольника.

Также из определения медианы следует, что AM делит сторону BD пополам, то есть DM = MB. Поскольку треугольник ABD прямоугольный со сторонами BD и AB (угол B равен 90 градусов), тогда AM является высотой этого треугольника.

Таким образом, медиана AM является высотой и в треугольнике ABC, и в треугольнике ABD. А также мы знаем, что оба треугольника имеют общий катет AB.

Из этих фактов следует, что треугольник ABC и треугольник ABD равны по стороне-катету-стороне, что и требовалось доказать.