Докажите, что при отражении светового луча от плоского зеркала выполняется следующее соотношение: e2 = e1 - 2(e1

Для начала, давайте разберемся с некоторыми основными понятиями. Когда свет падает на плоское зеркало, мы можем представить падающий луч света как вектор и нормаль к поверхности зеркала также как вектор. Нормаль - это вектор, перпендикулярный поверхности зеркала, указывающий направление от поверхности. Также, нам понадобится единичный вектор, который показывает направление луча света.

Для обозначения единичных векторов, мы используем символы e1 для падающего луча и e2 для отраженного луча. Соотношение, которое нужно доказать, звучит следующим образом: e2 = e1 - 2(e1, n). Здесь (e1, n) представляет скалярное произведение e1 и n.

Теперь перейдем к доказательству данного соотношения.
Пусть падающий луч света падает на плоское зеркало под углом θ1. Также, предположим, что нормаль к поверхности зеркала составляет угол α с горизонталью, как показано на рисунке:

\[insert image of light ray and mirror]

Так как луч света падает на плоское зеркало, то он будет отражаться и образовывать отраженный луч. Этот отраженный луч будет образовывать угол θ2 с горизонталью.

Теперь давайте разберемся, как можно выразить векторы e1 и e2 в терминах углов θ1 и θ2. Единичный вектор e1 будет иметь горизонтальную (x) и вертикальную (y) компоненты, которые можно записать следующим образом:

e1 = cos(θ1)i + sin(θ1)j

где i и j - единичные векторы по осям x и y соответственно.

Также, для вектора e2 мы можем записать:

e2 = cos(θ2)i + sin(θ2)j

Для доказательства данного соотношения, нам необходимо установить связь между углами θ1, θ2 и углом α.

Обратимся к геометрическим свойствам отражения света на плоском зеркале. Мы знаем, что угол падения равен углу отражения, что означает θ1 = θ2.

Посмотрим на рисунок снова и сосредоточимся на треугольнике, образованном падающим лучом, отраженным лучом и нормалью к поверхности зеркала. Мы заметим, что данный треугольник является прямоугольным.

Теперь взглянем на составляющие вектора e1 вдоль горизонтальной и вертикальной осей:

e1 = cos(θ1)i + sin(θ1)j

e1 = cos(θ2)i + sin(θ2)j (из условия θ1 = θ2)

Так как треугольник, образованный падающим лучом, отраженным лучом и нормалью к поверхности зеркала, является прямоугольным, то можно использовать теорему Пифагора:

cos^2(θ2) + sin^2(θ2) = 1

Теперь рассмотрим наше уравнение снова:

e1 = cos(θ2)i + sin(θ2)j

Нам нужно выразить cos(θ2) в виде cos(θ1) и sin(θ1). Мы можем использовать тригонометрическую тождественную функцию для выполнения этого действия:

cos(θ2) = cos(θ1) - 2sin(θ1)sin(α) (1)

Выражение (1) показывает, что мы можем представить cos(θ2) через cos(θ1) и sin(θ1). Теперь у нас есть все необходимые элементы для доказательства нашего исходного соотношения.

e2 = cos(θ2)i + sin(θ2)j

e2 = (cos(θ1) - 2sin(θ1)sin(α))i + sin(θ2)j (используем выражение (1))

e2 = cos(θ1)i - 2sin(θ1)sin(α)i + sin(θ2)j

Учитывая, что sin(θ2) = sin(θ1) (из условия θ1 = θ2), мы можем записать следующее:

e2 = cos(θ1)i - 2sin(θ1)sin(α)i + sin(θ1)j

Теперь, используя тождество sin^2(α) = 1 - cos^2(α), мы можем заменить sin(α)sin(α) в нашем уравнении:

e2 = cos(θ1)i - 2sin(θ1)√(1 - cos^2(α))i + sin(θ1)j

e2 = cos(θ1)i - 2sin(θ1)√(1 - cos^2(α))i + sin(θ1)j

Теперь объединим компоненты i и j в едином векторе:

e2 = (cos(θ1) - 2sin(θ1)√(1 - cos^2(α)))i + sin(θ1)j

e2 = e1 - 2(e1, n)

Таким образом, мы доказали, что при отражении светового луча от плоского зеркала выполняется соотношение e2 = e1 - 2(e1, n), где e1 - единичный вектор вдоль падающего луча, e2 - единичный вектор вдоль отраженного луча, n - нормаль к плоскости зеркала.

Надеюсь, данное доказательство было понятным и исчерпывающим для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!