Докажите, что плоскость, содержащая точки E, N и S, параллельна плоскости, содержащей точки A, B и D, при условии

Докажите, что плоскость, содержащая точки E, N и S, параллельна плоскости, содержащей точки A, B и D, при условии, что точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.
Solnechnyy_Narkoman

Solnechnyy_Narkoman

Чтобы доказать, что плоскость, проходящая через точки E, N и S, параллельна плоскости, проходящей через точки A, B и D, мы должны показать, что их нормали коллинеарны, то есть параллельны друг другу.

Давайте начнем с определения плоскости. Плоскость в трехмерном пространстве может быть определена с использованием точки и нормали этой плоскости. Нормаль - это вектор, перпендикулярный плоскости, указывающий направление вдоль которого плоскость расширяется или сжимается.

Предположим, что плоскость, проходящая через точки A, B и D, имеет нормальный вектор N1 и плоскость, проходящая через точки E, N и S, имеет нормальный вектор N2. Тогда, чтобы показать их параллельность, необходимо убедиться, что N1 и N2 коллинеарны, т.е. параллельны друг другу.

Чтобы найти нормальный вектор для плоскости, можно использовать векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости. Найдем векторы на первой плоскости - AB и AD, и используем их для определения N1:

N1=AB×AD

Аналогично найдем векторы на второй плоскости - EN и ES, и используем их для определения N2:

N2=EN×ES

Теперь, чтобы проверить, что N1 и N2 коллинеарны, можно рассмотреть их отношение. Если отношение между компонентами векторов совпадает или пропорционально взаимно, это может указывать на параллельность.

Следовательно, для коллинеарности, мы можем рассмотреть следующее отношение:

N1xN2x=N1yN2y=N1zN2z

Если все компоненты соответствующих векторов пропорциональны друг другу, то это означает, что плоскости, проходящие через точки E, N и S, и плоскости, проходящие через точки A, B и D, параллельны. Однако, если какая-либо из компонент не пропорциональна, это будет означать, что плоскости не параллельны.

Давайте вычислим векторы и посмотрим, совпадают ли их компоненты пропорционально.

Пусть точка A имеет координаты (x_A, y_A, z_A), точка B - (x_B, y_B, z_B), точка D - (x_D, y_D, z_D), точка E - (x_E, y_E, z_E), точка N - (x_N, y_N, z_N), а точка S - (x_S, y_S, z_S).

Тогда векторы можно определить следующим образом:

AB=xBxA,yByA,zBzA
AD=xDxA,yDyA,zDzA
EN=xNxE,yNyE,zNzE
ES=xSxE,ySyE,zSzE

Теперь, найдем векторные произведения:

N1=AB×AD
N2=EN×ES

Найдя компоненты векторов N1 и N2, запишем отношение и проверим, совпадают ли они пропорционально:

N1xN2x=N1yN2y=N1zN2z

Если данное отношение выполняется, то плоскости, проходящие через точки E, N и S, и плоскости, проходящие через точки A, B и D, будут параллельны. Если же отношение не выполняется, то плоскости не являются параллельными. Все эти расчеты можно выполнить, используя данные координат и формулы для векторного произведения. Если у вас есть конкретные координаты точек E, N, S, A, B и D, я могу помочь вам выполнить расчеты и доказать параллельность или не-параллельность этих плоскостей.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello