Докажите, что отрезок, соединяющий точку на катете прямоугольного треугольника с его противоположной вершиной, имеет

Чтобы доказать данное утверждение, посмотрим на треугольники, образованные отрезком, соединяющим точку на катете с противоположной вершиной, и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, а AC и BC - катеты (см. рисунок 17.15).

\[includefigure{drawings/triangle.png}{Прямоугольный треугольник ABC}\]

Пусть D - точка на катете BC. Отрезок AD представляет собой отрезок, соединяющий точку D с вершиной А.

Заметим, что треугольники ADC и ABC имеют общий угол при вершине А, так как угол А является прямым углом в обоих треугольниках.

Теперь рассмотрим отношение сторон треугольников ADC и ABC. По свойству подобных треугольников, это отношение равно отношению соответствующих сторон.

Так как углы АDC и АВС равны между собой, а угол ADC прямой, то треугольники ADC и ABC подобны по двум углам.

Следовательно, справедливо равенство:

\[\frac{AD}{AB} = \frac{CD}{AC}\]

Но по условию задачи CD < AC, так как D - точка на катете BC, а не на гипотенузе AB. Следовательно, \(\frac{CD}{AC} < 1\).

Так как отношение \(\frac{AD}{AB}\) равно отношению \(\frac{CD}{AC}\), то следует, что и \(\frac{AD}{AB}\) < 1.

При этом, AD > 0 и AB > 0, так как длины отрезков всегда положительны.

Таким образом, из неравенства \(\frac{AD}{AB}\) < 1 следует, что AD < AB.

То есть, отрезок AD (который соединяет точку на катете с противоположной вершиной) имеет меньшую длину, чем гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC.

Мы доказали, что отрезок, соединяющий точку на катете с противоположной вершиной в прямоугольном треугольнике, имеет меньшую длину, чем гипотенуза треугольника.