Докажите, что одно из двух чисел равно, если известно, что сумма этих чисел больше их удвоенного произведения

Конечно! Для доказательства того, что одно из двух чисел равно, будем считать, что сумма этих чисел больше их удвоенного произведения.

Пусть у нас есть два числа, обозначим их как \(x\) и \(y\). По условию задачи, сумма этих чисел больше их удвоенного произведения. Формулой это можно записать следующим образом:

\[x + y > 2xy\]

Для начала, разделим обе части неравенства на 2:

\[\frac{{x + y}}{2} > xy\]

Теперь давайте предположим, что \(x\) не равно \(y\). Это значит, что они не равны друг другу. В таком случае, мы можем предположить, что одно из чисел больше другого. Пусть \(x\) больше \(y\). Тогда мы можем записать:

\[x > y\]

Также, мы можем представить \(x\) через \(y\) как \(x = y + a\), где \(a\) – некоторая положительная константа. Теперь мы можем заменить \(x\) в исходном неравенстве:

\[\frac{{y + a + y}}{2} > (y + a)y\]

Упростим это:

\[\frac{{2y + a}}{2} > (y^2 + ay)\]

\[\frac{{2y}}{2} + \frac{{a}}{2} > y^2 + ay\]

Сократим дроби:

\[y + \frac{{a}}{2} > y^2 + ay\]

Теперь вычтем \(y\) из обеих частей неравенства:

\[\frac{{a}}{2} > y^2 + (a - 1)y\]

Видно, что левая часть неравенства является постоянной величиной (так как \(a\) – это фиксированная положительная константа). Значит, чтобы неравенство выполнялось для любых \(y\), правая часть неравенства должна быть всегда положительной. Но это не всегда возможно. Рассмотрим случай, когда \(y\) очень маленькое число (например, \(y = \frac{1}{100}\)):

\[\frac{a}{2} > \left(\frac{1}{100}\right)^2 + (a - 1)\left(\frac{1}{100}\right)\]

\[\frac{a}{2} > \frac{1}{10000} + \frac{a - 1}{100}\]

\[\frac{a}{2} - \frac{a - 1}{100} > \frac{1}{10000}\]

Правая часть неравенства всегда положительная, поэтому левая часть должна быть положительной. Однако при достаточно больших значениях \(a\) это не выполняется. Например, если \(a = 1000\):

\[\frac{1000}{2} - \frac{1000 - 1}{100} > \frac{1}{10000}\]

\[500 - 9.99 = 490.01 > 0.01\]

Таким образом, мы пришли к противоречию. Наше предположение, что \(x \neq y\), неверно. Значит, \(x\) и \(y\) должны быть равными числами.

Таким образом, мы доказали, что одно из двух чисел равно, если сумма этих чисел больше их удвоенного произведения.