Докажите, что набор чисел, представленных в виде 1/3k, где k является натуральным числом, является счетным множеством

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для доказательства того, что данное множество чисел является счетным, нам необходимо установить биекцию (взаимно-однозначное соответствие) между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида \( \frac{1}{3^k} \), где \( k \) - натуральное число.

1. Для начала, давайте рассмотрим множество натуральных чисел. Натуральные числа можно представить как \( 1, 2, 3, 4, \ldots \).

2. Теперь рассмотрим множество чисел, представленных в виде \( \frac{1}{3^k} \) для некоторого натурального числа \( k \). Если мы подставим различные значения \( k \), мы получим следующие числа: \( \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \ldots \).

3. Обратите внимание, что данное множество чисел состоит из положительных чисел, которые стремятся к нулю. Каждое новое число в этом множестве получается путем деления предыдущего числа на 3.

4. Давайте теперь установим взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида \( \frac{1}{3^k} \).

- Для этого мы можем сопоставить каждому натуральному числу \( n \) число \( k = n-1 \).
- То есть, каждому натуральному числу \( n \) мы можем сопоставить число вида \( \frac{1}{3^{k}} \), где \( k = n-1 \).

Например, первому натуральному числу \( 1 \) мы сопоставляем число \( k = 1-1 = 0 \), а значит \( \frac{1}{3^{0}} = 1 \).
Второму натуральному числу \( 2 \) мы сопоставляем число \( k = 2-1 = 1 \), а значит \( \frac{1}{3^{1}} = \frac{1}{3} \).
И так далее.

5. Таким образом, мы установили взаимно-однозначное соответствие между натуральными числами и числами вида \( \frac{1}{3^{k}} \), где \( k \) является натуральным числом.

Теперь, когда у нас есть такая биекция между двумя множествами, мы можем сделать вывод о том, что множество чисел \( \frac{1}{3^{k}} \), где \( k \) - натуральное число, является счетным множеством.

Это объясняет, почему набор чисел, представленных в виде \( \frac{1}{3^k} \), где \( k \) является натуральным числом, является счетным множеством.