Докажите, что набор чисел, представленных в виде 1/3k, где k является натуральным числом, является счетным множеством

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для доказательства того, что данное множество чисел является счетным, нам необходимо установить биекцию (взаимно-однозначное соответствие) между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида $\frac{1}{3^k}$, где $k$ - натуральное число.

1. Для начала, давайте рассмотрим множество натуральных чисел. Натуральные числа можно представить как $1,2,3,4,\dots$.

2. Теперь рассмотрим множество чисел, представленных в виде $\frac{1}{3^k}$ для некоторого натурального числа $k$. Если мы подставим различные значения $k$, мы получим следующие числа: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\dots$.

3. Обратите внимание, что данное множество чисел состоит из положительных чисел, которые стремятся к нулю. Каждое новое число в этом множестве получается путем деления предыдущего числа на 3.

4. Давайте теперь установим взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида $\frac{1}{3^k}$.

- Для этого мы можем сопоставить каждому натуральному числу $n$ число $k=n-1$.
- То есть, каждому натуральному числу $n$ мы можем сопоставить число вида $\frac{1}{3^k}$, где $k=n-1$.

Например, первому натуральному числу $1$ мы сопоставляем число $k=1-1=0$, а значит $\frac{1}{3^0}=1$.
Второму натуральному числу $2$ мы сопоставляем число $k=2-1=1$, а значит $\frac{1}{3^1}=\frac{1}{3}$.
И так далее.

5. Таким образом, мы установили взаимно-однозначное соответствие между натуральными числами и числами вида $\frac{1}{3^k}$, где $k$ является натуральным числом.

Теперь, когда у нас есть такая биекция между двумя множествами, мы можем сделать вывод о том, что множество чисел $\frac{1}{3^k}$, где $k$ - натуральное число, является счетным множеством.

Это объясняет, почему набор чисел, представленных в виде $\frac{1}{3^k}$, где $k$ является натуральным числом, является счетным множеством.