Докажите, что если точка пересечения высот треугольника def образует центр вписанной в него окружности, то треугольник

Чтобы доказать, что треугольник DEF является равносторонним, нам необходимо использовать информацию о его высотах и окружности, вписанной в него.

Начнем с того, что высоты треугольника проходят через его вершины. Высота, опущенная из вершины треугольника, является перпендикулярной отрезку, соединяющему эту вершину с противолежащим основанием. Таким образом, в точке пересечения высот (назовем ее точкой И) сходятся все три высоты.

Также, мы знаем, что окружность, вписанная в треугольник, касается всех его сторон внутренним образом. То есть, если мы продлим каждую сторону треугольника DEF до точки касания с вписанной окружностью (назовем эти точки A, B, C), то эти точки будут лежать на линиях, параллельных прямым треугольника и равноудаленных от противоположных сторон треугольника.

Поскольку точка пересечения высот является центром вписанной окружности, то она равноудалена от всех трех сторон треугольника. Из этого следует, что точки A, B, C также равноудалены от соответствующих сторон треугольника.

Теперь обратим внимание на треугольник ABC. Вписанная окружность треугольника всегда касается стороны треугольника под прямым углом, а потому прямые, проведенные от точек касания (A, B, C) до центра вписанной окружности, будут радиусами этой окружности. Так как эти прямые являются перпендикулярными к сторонам треугольника, то они также равноудалены от противоположных сторон.

Теперь соберем все факты воедино. Как уже упоминалось ранее, треугольник DEF имеет свою высоту, проходящую через точку И, где сходятся все высоты. Одновременно эта точка И является центром вписанной окружности треугольника DEF, а значит, она равноудалена от всех сторон треугольника.

С другой стороны, точки A, B, C, лежащие на сторонах треугольника DEF и являющиеся касательными точками вписанной окружности, также равноудалены от соответствующих сторон.

Таким образом, все три пары точек (А, точка И, сторона DE), (В, точка И, сторона EF), (С, точка И, сторона FD) являются равноудаленными от противоположных сторон треугольника DEF.

Такой факт возможен только в одном случае - когда треугольник является равносторонним. Следовательно, если точка пересечения высот треугольника DEF является центром вписанной в него окружности, то треугольник DEF является равносторонним.