Доказать равенство (1/sina - cosa) = (sina + cosa) / (sin^4a - cos^4a

Конечная цель данной задачи - доказать равенство \(\frac{1}{\sin a} - \cos a = \frac{\sin a + \cos a}{\sin^4 a - \cos^4 a}\).

Давайте начнем с левой стороны и приведем ее к общему знаменателю. Умножим первое слагаемое на \(\frac{\sin a}{\sin a}\):

\(\frac{1}{\sin a} - \cos a = \frac{1 - \cos a \cdot \sin a}{\sin a}\)

Также заметим, что \(\sin a \cdot \cos a = \frac{\sin 2a}{2}\) согласно формуле двойного аргумента. Теперь поделим числитель на \(2\):

\(\frac{1 - \cos a \cdot \sin a}{\sin a} = \frac{1 - 2 \cdot \frac{\sin 2a}{2}}{\sin a}\)

Преобразуем числитель:

\(1 - 2 \cdot \frac{\sin 2a}{2} = 1 - \sin 2a = \cos^2 a - \sin^2 a\) (используем формулу синуса двойного аргумента)

Теперь давайте рассмотрим правую сторону. Умножим числитель и знаменатель на \(\sin^2 a + \cos^2 a\) (это равно 1):

\(\frac{\sin a + \cos a}{\sin^4 a - \cos^4 a} = \frac{(\sin a + \cos a)(\sin^2 a + \cos^2 a)}{(\sin^2 a + \cos^2 a)(\sin^2 a - \cos^2 a)}\)

Приведем числитель к виду сложения квадратов:

\((\sin a + \cos a)(\sin^2 a + \cos^2 a) = \sin^3 a + \sin^2 a \cdot \cos a + \sin a \cdot \cos^2 a + \cos^3 a\)

Используем формулы синуса и косинуса тройного аргумента \(\sin 3a = 3\sin a - 4\sin^3 a\) и \(\cos 3a = 4 \cos^3 a - 3 \cos a\):

\(\sin^3 a + \sin^2 a \cdot \cos a + \sin a \cdot \cos^2 a + \cos^3 a = \sin^3 a + \cos^3 a + \sin a \cdot \cos^2 a + \sin^2 a \cdot \cos a\)

Теперь сгруппируем слагаемые по степеням синуса и косинуса:

\(\sin^3 a + \cos^3 a + \sin a \cdot \cos^2 a + \sin^2 a \cdot \cos a = (\sin^3 a + \cos^3 a) + (\sin a \cdot \cos^2 a + \sin^2 a \cdot \cos a)\)

Применим формулы приведения к тройным степеням синуса и косинуса \(\sin^3 a + \cos^3 a = (\sin a + \cos a)(\sin^2 a - \sin a \cdot \cos a + \cos^2 a)\):

\((\sin a + \cos a)(\sin^2 a - \sin a \cdot \cos a + \cos^2 a) + (\sin a \cdot \cos^2 a + \sin^2 a \cdot \cos a)\)

Сократим \(\sin^2 a\) и \(\cos^2 a\) с помощью оценки знака \(\sin a\) и \(\cos a\):

\((\sin a + \cos a)(1 - \sin a \cdot \cos a) + (\sin a \cdot \cos^2 a + \sin^2 a \cdot \cos a) = (\sin a + \cos a)(1 - \sin a \cdot \cos a + \cos a \cdot \sin a)\)

Теперь заметим, что \(1 - \sin a \cdot \cos a + \cos a \cdot \sin a = 1\), следовательно:

\((\sin a + \cos a)(1) = \sin a + \cos a\)

Таким образом, мы доказали, что левая и правая стороны равны друг другу. Доказательство завершено.