Доказать, что точки вне окружности видят отрезок ab под меньшим углом, а точки внутри окружности - под большим углом

Хорошо, для начала давайте разберемся, какие точки мы имеем в виду. У нас есть окружность с центром O и радиусом r, а также две точки на этой окружности, которые мы обозначим как A и B. Для удобства, давайте предположим, что точка A находится левее точки B.

Теперь, для формального доказательства нам нужно показать, что точки внутри окружности видят отрезок AB под большим углом, а точки вне окружности - под меньшим углом.

Предположим, что у нас есть точка P внутри окружности. Для доказательства того, что она видит отрезок AB под большим углом, мы можем построить две хорды окружности: AP и BP.

Посмотрите на рисунок:

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) circle (2);
\draw[-] (-2.8,-2) -- (2.8,-2);
\fill (0,2) circle[radius=2pt] node[above] {O};
\fill (2*cos(50),2*sin(50)) circle[radius=2pt] node[right] {A};
\fill (2*cos(-50),2*sin(-50)) circle[radius=2pt] node[right] {B};
\fill (1.5,0.5) circle[radius=2pt] node[right] {P};
\draw (0,2) -- (2,0);
\draw (0,2) -- (2*cos(50),2*sin(50));
\draw (0,2) -- (2*cos(-50),2*sin(-50));
\draw (1.5,0.5) -- (2*cos(50),2*sin(50));
\draw (1.5,0.5) -- (2*cos(-50),2*sin(-50));
\draw[dashed] (0,2) -- (1.5,0.5);
\end{tikzpicture}
\]

Как мы видим, угол между хордой AP и хордой BP равен углу между соответствующими радиусами, выходящими из центра окружности. Обозначим этот угол как \(\theta\).

Теперь предположим, что у нас есть точка Q вне окружности. В этом случае, хорды AQ и BQ будут иметь угол меньше \(\theta\), поскольку они будут ближе друг к другу.

Следовательно, мы доказали наше утверждение: точки внутри окружности видят отрезок AB под большим углом, а точки вне окружности - под меньшим углом.

Я надеюсь, что это пошаговое объяснение помогло вам понять и определить отношение углов для различных точек относительно окружности и хорды AB. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!