Доказать, что отрезки АА1 и BB1 равны. Показать, что точки K и K1, являющиеся серединами отрезков A1А

Чтобы доказать, что отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\) равны, мы должны использовать свойство связанных средних отрезков:

Если две точки \(K\) и \(K_1\) являются серединами соответствующих отрезков \(A_1А\) и \(B_1B\), то эти точки лежат на прямой, проходящей через точку \(O\).

Давайте рассмотрим следующую схему для более ясного представления:

\[
\begin{array}{ccccc}
& A & & A_1 & \\
& & \nearrow & & \\
O & & K & & O \\
& & \searrow & & \\
& B_1 & & B & \\
\end{array}
\]

Мы знаем, что отрезок \(AA_1\) равен отрезку \(BB_1\) тогда и только тогда, когда точки \(K\) и \(K_1\) лежат на одной прямой, проходящей через точку \(O\).

Чтобы доказать это, мы будем использовать свойство угла \(KOK_1\). Если этот угол равен 180 градусам, то это означает, что точки \(K\) и \(K_1\) лежат на одной прямой.

Давайте посмотрим на угол \(KOK_1\):

\[
\angle KOK_1
\]

Этот угол является углом между отрезками \(OK\) и \(OK_1\). Поскольку точки \(K\) и \(K_1\) являются серединами отрезков \(A_1А\) и \(B_1B\) соответственно, то отрезок \(OK\) равен отрезку \(OA_1\), а отрезок \(OK_1\) равен отрезку \(OB_1\).

Таким образом, мы имеем:

\[
\angle KOK_1 = \angle OA_1B_1
\]

Но мы также знаем, что отрезок \(A_1А\) равен отрезку \(B_1B\), поэтому мы можем записать:

\[
\angle OA_1B_1 = \angle OA1B
\]

Теперь, объединяя эти два уравнения, мы получаем:

\[
\angle KOK_1 = \angle OA1B
\]

Если мы заметим, что \(\angle OA1B\) является прямым углом (180 градусов), то мы можем заключить:

\[
\angle KOK_1 = 180^\circ
\]

Таким образом, угол \(KOK_1\) равен 180 градусам, что означает, что точки \(K\) и \(K_1\) лежат на одной прямой, проходящей через точку \(O\).

Из этого мы можем сделать вывод, что отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\) равны.