Does the inequality sin(x/4 - 3) < √2/2 hold true?

Для решения данного неравенства, вначале нужно найти интервалы значений переменной \(x\), для которых выполняется условие. За основу возьмем то, что синус является периодической функцией с периодом \(2\pi\), то есть значения синуса в точках \(x\) и \(x+2\pi\) будут одинаковыми. В данной задаче, угол \(y = \frac{x}{4} - 3\) находится внутри синуса, поэтому мы должны скорректировать ограничение нашего угла в интервале от \(-2\pi\) до \(2\pi\).

Исходя из свойств синуса, функция \(\sin(y)\) изменяется от \(-1\) до \(1\), а функция \(\sqrt{2}/2\) принимает значение примерно \(0.707\). Наша задача состоит в том, чтобы определить, в каких диапазонах переменной \(x\) неравенство \(\sin(x/4 - 3) < \sqrt{2}/2\) выполняется.

Для этого, мы можем использовать следующие шаги:

1. Заменим \(\sqrt{2}/2\) на десятичную дробь \(0.707\) для удобства.

2. Найдем границы интервала значений для угла \(y\) следующим образом:
- Минимальное значение \(y\): \(y_{\text{min}} = \frac{(-2\pi)}{4} - 3\).
- Максимальное значение \(y\): \(y_{\text{max}} = \frac{(2\pi)}{4} - 3\).

3. Рассчитаем значения синуса для каждой из границ интервала:
- \(\sin(y_{\text{min}})\).
- \(\sin(y_{\text{max}})\).

4. Сравним результаты с десятичной дробью \(0.707\). Если значения синуса в заданных границах интервала меньше, чем \(0.707\), то неравенство будет выполняться в этом интервале значения \(x\). В противном случае, неравенство будет неверным.

Итак, приступим к решению.

1. Заменим \(\sqrt{2}/2\) на \(0.707\).

2. Найдем границы интервала значений для угла \(y\):
- Минимальное значение \(y\): \(y_{\text{min}} = \frac{(-2\pi)}{4} - 3 = -\frac{\pi}{2} - 3\).
- Максимальное значение \(y\): \(y_{\text{max}} = \frac{(2\pi)}{4} - 3 = \frac{\pi}{2} - 3\).

3. Рассчитаем значения синуса для каждой из границ интервала:
- \(\sin(y_{\text{min}}) = \sin\left(-\frac{\pi}{2} - 3\right)\).
- \(\sin(y_{\text{max}}) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 3\right)\).

Подставим значения в тригонометрическую функцию:
- \(\sin\left(-\frac{\pi}{2} - 3\right) \approx -0.997\).
- \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - 3\right) \approx 0.997\).

4. Сравним полученные результаты с десятичной дробью \(0.707\):
- \(-0.997 < 0.707\). Неравенство выполняется при \(y_{\text{min}}\).
- \(0.997 > 0.707\). Неравенство НЕ выполняется при \(y_{\text{max}}\).

Следовательно, неравенство \(\sin(x/4 - 3) < \sqrt{2}/2\) будет выполнено в интервале значений \(x\), соответствующих углам \(y\) от \(-\frac{\pi}{2} - 3\) до \(\frac{\pi}{2} - 3\).

Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!