Для заданого трикутника АВС з точками А ( -2; 1), В ( 1; 5 ), С ( 5; 3 ) знайдіть значення кутів

Чтобы найти значения углов треугольника ABC, мы можем использовать формулу для вычисления угла между двумя векторами. Давайте пройдемся по каждому углу по очереди.

Первый угол: А

Для начала, мы можем рассчитать векторы AB и AC, используя координаты этих точек.

Вектор AB = (1 - (-2), 5 - 1) = (3, 4)
Вектор AC = (5 - (-2), 3 - 1) = (7, 2)

Затем, мы можем использовать формулу скалярного произведения для вычисления угла между этими векторами:

\[
\cos(\angle BAC) = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{|\mathbf{AB}| |\mathbf{AC}|}}
\]

где \(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}\) обозначает скалярное произведение векторов AB и AC, а \(|\mathbf{AB}|\) и \(|\mathbf{AC}|\) - их длины, соответственно.

Вычислим:

\[
\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = 3 \cdot 7 + 4 \cdot 2 = 21 + 8 = 29
\]

\[
|\mathbf{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

\[
|\mathbf{AC}| = \sqrt{7^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}
\]

Теперь, подставим эти значения в формулу:

\[
\cos(\angle BAC) = \frac{29}{5 \cdot \sqrt{53}} \approx 0.778
\]

Чтобы найти значение самого угла, мы можем использовать обратную функцию косинуса:

\[
\angle BAC \approx \cos^{-1}(0.778) \approx 40.93°
\]

Таким образом, угол А примерно равен 40.93°.

Повторим этот процесс для остальных двух углов и вычислим их значения.

Второй угол: B

Вектор BA = (-3, -4)
Вектор BC = (5 - 1, 3 - 5) = (4, -2)

\[
\mathbf{BA} \cdot \mathbf{BC} = (-3) \cdot 4 + (-4) \cdot (-2) = -12 + 8 = -4
\]

\[
|\mathbf{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

\[
|\mathbf{BC}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

\[
\cos(\angle ABC) = \frac{-4}{5 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-4}{10\sqrt{5}} = -\frac{2}{5\sqrt{5}}
\]

\[
\angle ABC \approx \cos^{-1}\left(-\frac{2}{5\sqrt{5}}\right) \approx 124.39°
\]

Третий угол: C

Вектор CA = (-7, -2)
Вектор CB = (5 - 1, 3 - 5) = (4, -2)

\[
\mathbf{CA} \cdot \mathbf{CB} = (-7) \cdot 4 + (-2) \cdot (-2) = -28 + 4 = -24
\]

\[
|\mathbf{CA}| = \sqrt{(-7)^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}
\]

\[
|\mathbf{CB}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

\[
\cos(\angle BCA) = \frac{-24}{\sqrt{53} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-24}{2\sqrt{5}\sqrt{53}} = -\frac{6}{\sqrt{5}\sqrt{53}} = -\frac{6}{\sqrt{265}}
\]

\[
\angle BCA \approx \cos^{-1}\left(-\frac{6}{\sqrt{265}}\right) \approx 14.68°
\]

Таким образом, угол C примерно равен 14.68°.

Итак, значения углов треугольника ABC равны примерно 40.93°, 124.39° и 14.68° соответственно.