Для произвольных точек C и D, выбранных внутри отрезка AB и удовлетворяющих условию AC=BD, докажите неравенство

Дано: Внутри отрезка AB выбраны произвольные точки C и D такие, что AC = BD.

Цель: Доказать неравенство XC + XD ⩽ XA + XB для любой точки X, находящейся в плоскости.

Доказательство:

Для начала, обратимся к теореме треугольника. В неравенстве треугольника для трех сторон треугольника ABC, где A, B и C - это точки на плоскости, выполняется следующее неравенство:

AB ⩽ AC + BC

Теперь рассмотрим треугольник XAC и воспользуемся неравенством треугольника:

XA + AC ⩾ XC

Аналогично, рассмотрим треугольник XBD:

XB + BD ⩾ XD

Теперь объединим полученные неравенства:

(XA + AC) + (XB + BD) ⩾ XC + XD

Так как AC = BD из условия задачи, то:

(XA + BD) + (XB + BD) ⩾ XC + XD

2(XA + XB) ⩾ XC + XD

Теперь, чтобы доказать исходное неравенство XC + XD ⩽ XA + XB, докажем, что:

2(XA + XB) ⩾ XC + XD ⩾ XA + XB

Нам нужно доказать, что XC + XD не меньше, чем XA + XB.

1) Доказательство XC + XD ⩾ XA + XB:

Предположим, что XC + XD < XA + XB.

Тогда можно сказать, что 2(XA + XB) ⩾ XC + XD + (XA + XB), так как XC + XD < XA + XB.

2(XA + XB) ⩾ XA + XB + XC + XD

Но это противоречит неравенству 2(XA + XB) ⩾ XC + XD, которое мы уже доказали ранее.
Таким образом, XC + XD не может быть меньше XA + XB.

2) Доказательство XC + XD ⩽ XA + XB:

Предположим, что XC + XD > XA + XB.

Тогда можно сказать, что 2(XA + XB) ⩾ XC + XD + (XA + XB), так как XC + XD > XA + XB.

2(XA + XB) ⩾ XA + XB + XC + XD

Но это противоречит неравенству 2(XA + XB) ⩾ XC + XD, которое мы уже доказали ранее.
Таким образом, XC + XD не может быть больше XA + XB.

Таким образом, мы доказали, что XC + XD ⩽ XA + XB для любой точки X, находящейся в плоскости, при условии, что AC = BD. Ответ доказан.