Для какого значения параметра a уравнение | x^2+6x+a |=2 имеет 4 различных корня? Запишите наибольшее целое значение

Для решения этой задачи нам необходимо найти такое значение параметра $a$, которое позволит уравнению $|x^2+6x+a|=2$ иметь ровно 4 различных корня.

Давайте начнем с анализа уравнения и его возможных решений для различных значений параметра $a$.

Для начала заметим, что модуль $|x^2+6x+a|$ может принимать значение 2 только в двух случаях: когда выражение $x^2+6x+a$ равно 2 или -2.

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно:

1. Когда $x^2+6x+a$ равно 2:
Решим это уравнение:
$x^2+6x+a=2$

Так как нам нужно найти 4 различных корня, то это означает, что уравнение должно иметь два действительных корня и два комплексных корня (нет действительных корней или все корни совпадают не подходят).

Давайте построим дискриминант уравнения, чтобы найти условие на параметр $a$ для двух действительных корней:
$\mathrm{\Delta }=(6{)}^2-4(1)(a-2)=36-4(a-2)=36-4a+8=-4a+44$

Чтобы уравнение имело 2 действительных корня, дискриминант должен быть положительным: $-4a+44>0$

Решаем неравенство по параметру $a$:
$-4a+44>0$
$4a<44$
$a<11$

Таким образом, условие на параметр $a$ для уравнения $x^2+6x+a=2$ имеющего 2 действительных корня - это $a<11$.

2. Когда $x^2+6x+a$ равно -2:
Решим это уравнение:
$x^2+6x+a=-2$

В этом случае мы также ищем 4 различных корня. Поступим аналогично, как мы делали в предыдущем случае.

Строим дискриминант уравнения, чтобы найти условие на параметр $a$ для двух действительных корней:
$\mathrm{\Delta }=(6{)}^2-4(1)(a+2)=36-4(a+2)=36-4a-8=-4a+28$

Опять же, чтобы уравнение имело 2 действительных корня, дискриминант должен быть положительным: $-4a+28>0$

Решаем неравенство по параметру $a$:
$-4a+28>0$
$4a<28$
$a<7$

Таким образом, условие на параметр $a$ для уравнения $x^2+6x+a=-2$ имеющего 2 действительных корня - это $a<7$.

Итак, у нас есть два условия: $a<11$ и $a<7$. Чтобы учесть оба этих условия, необходимо выбрать наименьшее значение параметра $a$, которое удовлетворяет обоим условиям.

Наименьшим значением параметра $a$ из этих двух условий является $a=7$.

Следовательно, чтобы уравнение $|x^2+6x+a|=2$ имело 4 различных корня, наибольшим целым значением параметра $a$ будет 7.

Ответ: $a=7$