Для какого значения параметра a уравнение | x^2+6x+a |=2 имеет 4 различных корня? Запишите наибольшее целое значение

Для решения этой задачи нам необходимо найти такое значение параметра \(a\), которое позволит уравнению \(|x^2+6x+a|=2\) иметь ровно 4 различных корня.

Давайте начнем с анализа уравнения и его возможных решений для различных значений параметра \(a\).

Для начала заметим, что модуль \(|x^2+6x+a|\) может принимать значение 2 только в двух случаях: когда выражение \(x^2+6x+a\) равно 2 или -2.

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно:

1. Когда \(x^2+6x+a\) равно 2:
Решим это уравнение:
\(x^2+6x+a=2\)

Так как нам нужно найти 4 различных корня, то это означает, что уравнение должно иметь два действительных корня и два комплексных корня (нет действительных корней или все корни совпадают не подходят).

Давайте построим дискриминант уравнения, чтобы найти условие на параметр \(a\) для двух действительных корней:
\(\Delta = (6)^2 - 4(1)(a-2) = 36 - 4(a-2) = 36 - 4a + 8 = -4a + 44\)

Чтобы уравнение имело 2 действительных корня, дискриминант должен быть положительным: \(-4a + 44 > 0\)

Решаем неравенство по параметру \(a\):
\(-4a + 44 > 0\)
\(4a < 44\)
\(a < 11\)

Таким образом, условие на параметр \(a\) для уравнения \(x^2+6x+a=2\) имеющего 2 действительных корня - это \(a < 11\).

2. Когда \(x^2+6x+a\) равно -2:
Решим это уравнение:
\(x^2+6x+a=-2\)

В этом случае мы также ищем 4 различных корня. Поступим аналогично, как мы делали в предыдущем случае.

Строим дискриминант уравнения, чтобы найти условие на параметр \(a\) для двух действительных корней:
\(\Delta = (6)^2 - 4(1)(a+2) = 36 - 4(a+2) = 36 - 4a - 8 = -4a + 28\)

Опять же, чтобы уравнение имело 2 действительных корня, дискриминант должен быть положительным: \(-4a + 28 > 0\)

Решаем неравенство по параметру \(a\):
\(-4a + 28 > 0\)
\(4a < 28\)
\(a < 7\)

Таким образом, условие на параметр \(a\) для уравнения \(x^2+6x+a=-2\) имеющего 2 действительных корня - это \(a < 7\).

Итак, у нас есть два условия: \(a < 11\) и \(a < 7\). Чтобы учесть оба этих условия, необходимо выбрать наименьшее значение параметра \(a\), которое удовлетворяет обоим условиям.

Наименьшим значением параметра \(a\) из этих двух условий является \(a = 7\).

Следовательно, чтобы уравнение \(| x^2+6x+a | = 2\) имело 4 различных корня, наибольшим целым значением параметра \(a\) будет 7.

Ответ: \( a = 7 \)