Для какого числа сумма остатков при делении числа на различные числа будет наибольшей?

Чтобы решить данную задачу и найти число, для которого сумма остатков при делении на различные числа будет наибольшей, мы можем рассмотреть несколько примеров и проанализировать полученные результаты.

Пусть данное число обозначается как \(x\). Для начала рассмотрим деление числа \(x\) на числа от 2 до 9 и найдем сумму остатков при делении:

\[
\begin{align*}
x \mod 2 = \text{ост.1} \\
x \mod 3 = \text{ост.2} \\
x \mod 4 = \text{ост.3} \\
x \mod 5 = \text{ост.4} \\
x \mod 6 = \text{ост.5} \\
x \mod 7 = \text{ост.6} \\
x \mod 8 = \text{ост.7} \\
x \mod 9 = \text{ост.8}
\end{align*}
\]

Здесь \(\mod\) обозначает операцию взятия остатка от деления. Заметим, что для каждого делителя остаток при делении на него будет на 1 меньше, чем сам делитель. То есть, остаток при делении на 2 будет максимально равен 1, на 3 - 2, на 4 - 3 и так далее.

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1) Если \(x\) четное число.

В этом случае максимально возможный остаток будет равен 1, так как для четного числа остаток при делении на 2 всегда будет равен 0, который меньше остатка 1.

2) Если \(x\) нечетное число.

В этом случае максимально возможный остаток будет равен 8, так как остаток при делении на 9 всегда будет на 1 меньше самого делителя.

Таким образом, ответ на задачу: для нечетного числа сумма остатков при делении числа на различные числа будет наибольшей.