Для каких значений a существует только одно решение уравнения (a-2)*x^2+x+2=0?

Для того чтобы найти значения a, при которых уравнение имеет только одно решение, нам нужно использовать понятие дискриминанта.

Уравнение квадратного трёхчлена задано в виде \(Ax^2 + Bx + C = 0\), где A, B и C - коэффициенты. Дискриминант этого уравнения рассчитывается по формуле \(\Delta = B^2 - 4AC\).

Если дискриминант положителен (\(\Delta > 0\)), то уравнение имеет два различных решения.
Если дискриминант равен нулю (\(\Delta = 0\)), то уравнение имеет одно решение.
Если дискриминант отрицателен (\(\Delta < 0\)), то уравнение не имеет решений.

Теперь применим эту формулу к данному уравнению: \( (a-2)x^2 + x + 2 = 0 \).

Сравним его с общим видом \( Ax^2 + Bx + C = 0 \):
- В данном случае, \( A = (a-2) \), \( B = 1 \) и \( C = 2 \).
- Подставляем значения в формулу для дискриминанта: \( \Delta = B^2 - 4AC = 1^2 - 4(a-2) \cdot 2 \).

Теперь, для того чтобы уравнение имело только одно решение, дискриминант должен быть равен нулю (\(\Delta = 0\)).

Запишем это условие: \( \Delta = 1 - 4(a-2) \cdot 2 = 0 \).

Теперь остаётся решить полученное уравнение для \( a \):

\[ 1 - 4(a-2) \cdot 2 = 0 \]

Теперь выполним решение шаг за шагом.

1. Раскроем скобки:
\[ 1 - 8(a-2) = 0 \]

2. Распределение:
\[ 1 - 8a + 16 = 0 \]

3. Сгруппируем подобные слагаемые:
\[ 17 - 8a = 0 \]

4. Перенесём слагаемое \( -8a \) на другую сторону:
\[ 17 = 8a \]

5. Разделим обе части уравнения на 8:
\[ a = \frac{17}{8} \]

Таким образом, уравнение \( (a-2)x^2 + x + 2 = 0 \) будет иметь только одно решение, когда \( a = \frac{17}{8} \).