Для каких натуральных значений n десятичная запись дроби 1/n будет периодичной без предпериода, и минимальный период

Для начала, давайте разберемся с терминологией. Когда мы говорим о периодичной десятичной записи дроби, мы имеем в виду что после запятой у нас есть повторяющийся блок цифр, который будет повторяться бесконечно. Например, дробь 1/3 имеет периодическую запись 0.33333..., где блок цифр 3 повторяется.

Теперь вернемся к вашему вопросу: для каких натуральных значений n десятичная запись дроби 1/n будет периодичной без предпериода? Чтобы найти ответ на этот вопрос, мы должны изучить делители числа n.

Если n имеет только два делителя: 1 и само число n, тогда десятичная запись 1/n будет периодичной без предпериода. Такие числа называются простыми числами. Например, число 7 является простым, поэтому десятичная запись 1/7 будет периодичной без предпериода.

Однако, если n имеет еще какие-то делители помимо 1 и n, то дробь 1/n не будет иметь периодической записи без предпериода. Такие числа называются составными числами. Например, число 6 является составным, поэтому десятичная запись 1/6 не будет периодической без предпериода.

Таким образом, десятичная запись 1/n будет периодичной без предпериода только для простых чисел n.

Относительно минимальной длины периода, то есть количество цифр, после которых начинается повторение, существует теорема Эйлера. Он показал, что для простого числа n, такого что ни 2, ни 5 не делят это число, длина периода десятичной записи дроби 1/n будет равна p-1, где p - это наименьшее натуральное число, такое что 10^p ≡ 1 mod n. Другими словами, длина периода может быть найдена путем нахождения наименьшего значения p, для которого 10^p - 1 делится на n.

Для понимания этого, рассмотрим пример: число 7. Мы знаем, что 10^6 ≡ 1 mod 7. Значит, длина периода десятичной записи 1/7 будет равна 6 - 1 = 5.

Таким образом, чтобы найти минимальную длину периода десятичной записи 1/n, где n - простое число, нужно найти наименьшее значение p, для которого 10^p ≡ 1 mod n.

Я надеюсь, что это объяснение было понятным и содержательным для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!