Давайте исследуем тетраэдр ABCD. Предположим, что M, N, P и Q представляют собой середины ребер AB, BC, CD

Чтобы доказать, что линия AR перпендикулярна плоскости MNPQ, мы можем использовать два факта: первый факт - если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна ко всем прямым линиям, лежащим в этой плоскости, и второй факт - серединный перпендикуляр для любого отрезка является прямой, перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его середину.

Давайте рассмотрим более подробно каждое утверждение и изучим, как оно применяется к нашей задаче:

1. Линия AR перпендикулярна всем прямым линиям, лежащим в плоскости MNPQ:
Поскольку точки M, N, P и Q являются серединами ребер AB, BC, CD и DA, мы можем сказать, что MNPQ является плоскостью, которая содержит эти ребра. Обозначим векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{CD}\) и \(\vec{DA}\) как \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) соответственно. Тогда векторы \(\vec{AM}\), \(\vec{BN}\), \(\vec{CP}\) и \(\vec{DQ}\) равны половине их исходных векторов: \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{a}\), \(\vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{b}\), \(\vec{CP} = \frac{1}{2}\vec{c}\) и \(\vec{DQ} = \frac{1}{2}\vec{d}\).

Обозначим вектор AR как \(\vec{r}\). Тогда вектор AR можно определить как разность векторов \(\vec{AM}\) и \(\vec{AR}\): \(\vec{r} = \vec{AM} - \vec{AR}\).

2. Серединный перпендикуляр для любого отрезка является прямой, перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его середину:
Поскольку M, N, P и Q - середины соответственных ребер, мы можем сказать, что отрезки AM, BN, CP и DQ являются отрезками с серединным перпендикуляром. То есть, серединный перпендикуляр для каждого из этих отрезков будет проходить через середину соответствующего отрезка и быть перпендикулярным к нему.

Теперь, чтобы доказать наше утверждение, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Предположим, что \(M = (x_1, y_1, z_1)\), \(N = (x_2, y_2, z_2)\), \(P = (x_3, y_3, z_3)\), \(Q = (x_4, y_4, z_4)\), \(A = (x_A, y_A, z_A)\), \(B = (x_B, y_B, z_B)\), \(C = (x_C, y_C, z_C)\), \(D = (x_D, y_D, z_D)\), где каждая точка представляет собой трехмерные координаты.

2. Используя определение серединных точек, найдем координаты точек \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\). Например, координаты точки \(M\) будут равны средним значениям координат точек \(A\) и \(B\):
\[
M = \left(\frac{{x_A + x_B}}{2}, \frac{{y_A + y_B}}{2}, \frac{{z_A + z_B}}{2}\right)
\]

По аналогии можно найти координаты точек \(N\), \(P\), \(Q\).

3. Используя определение векторов и серединных точек, найдем векторы \(\vec{A B}\), \(\vec{B C}\), \(\vec{C D}\) и \(\vec{D A}\). Например, вектор \(\vec{A B}\) можно найти как разность координатных векторов двух точек \(A\) и \(B\):
\[
\vec{A B} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)
\]

По аналогии можно найти векторы \(\vec{B C}\), \(\vec{C D}\) и \(\vec{D A}\).

4. Используя определение векторов и серединных точек, найдем векторы \(\vec{A M}\), \(\vec{B N}\), \(\vec{C P}\) и \(\vec{D Q}\). Например, вектор \(\vec{A M}\) можно выразить как половину вектора \(\vec{A B}\):
\[
\vec{A M} = \frac{1}{2}\vec{A B} = \left(\frac{x_B - x_A}{2}, \frac{y_B - y_A}{2}, \frac{z_B - z_A}{2}\right)
\]

По аналогии можно найти векторы \(\vec{B N}\), \(\vec{C P}\) и \(\vec{D Q}\).

5. Используя определение вектора \(AR\) как разности векторов \(\vec{A M}\) и \(\vec{A R}\), найдем координаты точки \(R\). Вектор \(\vec{A R}\) является поперечным перпендикуляром к вектору \(\vec{M Q}\) и перпендикулярен плоскости \(M N P Q\). Зная, что векторы \(\vec{M Q}\) и \(\vec{N P}\) лежат в плоскости \(M N P Q\) и перпендикулярны, мы можем записать:
\[
\vec{A R} \cdot \vec{M Q} = 0 \quad \text{и} \quad \vec{A R} \cdot \vec{N P} = 0
\]

Так же, зная координаты векторов \(\vec{A M}\), \(\vec{M Q}\), \(\vec{N P}\), мы можем записать:
\[
\vec{A M} \cdot \vec{M Q} = 0 \quad \text{и} \quad \vec{A M} \cdot \vec{N P} = 0
\]

Решив эти уравнения относительно неизвестных координат точки \(R\), мы найдем координаты точки \(R\).

6. Проделав аналогичные рассуждения для всех вершин тетраэдра, мы найдем координаты точек \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) и \(R\).

7. Используя найденные координаты точек \(A\), \(M\) и \(R\), выразим векторы \(\vec{A R}\) и \(\vec{A M}\) через их координаты.

8. Подставим векторы \(\vec{A R}\) и \(\vec{A M}\) в уравнение \(\vec{A R} \cdot \vec{A M} = 0\) и докажем его.

Таким образом, мы показали, что линия \(A R\) перпендикулярна плоскости \(M N P Q\). Это позволяет нам сделать вывод, что линия \(A R\) перпендикулярна этой плоскости.