Дано: оа = 6, ов = 4. Искать: а) координаты точек а и в; б) длина медианы треугольника оав, проведенной из вершины

Даны стороны треугольника \(оа = 6\) и \(ов = 4\). Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и формулу для вычисления координат точки, делящей отрезок в заданном отношении.

а) Найдем координаты точек \(а\) и \(в\).

Пусть точка \(о\) имеет координаты \((0, 0)\). Так как длина стороны \(оа = 6\), то точка \(а\) должна находиться на окружности радиусом 6 с центром в точке \(о\). Возьмем для этого окружности уравнение \(x^2 + y^2 = 6^2\).

Также известно, что точка \(в\) находится на отрезке \(ov\) длиной 4. Для нахождения координат точек \(а\) и \(в\), воспользуемся формулой для деления отрезка в заданном отношении:

Для точки \(а\) с координатами \((x_1, y_1)\) и точки \(в\) с координатами \((x_2, y_2)\), координаты точки \(m\) (точки, которая делит отрезок в заданном отношении) можно найти по следующим формулам:

\[x_m = \frac{x_2 + \frac{m}{n}x_1}{1 + \frac{m}{n}}\]
\[y_m = \frac{y_2 + \frac{m}{n}y_1}{1 + \frac{m}{n}}\]

Теперь найдем координату точки \(а\):

\[x_a = \frac{0 + \frac{6}{4} \cdot 0}{1 + \frac{6}{4}} = \frac{0}{\frac{10}{4}} = 0\]
\[y_a = \frac{4 + \frac{6}{4} \cdot 0}{1 + \frac{6}{4}} = \frac{4}{\frac{10}{4}} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}\]

Таким образом, координаты точки \(а\) равны \((0,\frac{8}{5})\).

Аналогично, найдем координаты точки \(в\):

\[x_v = \frac{0 + \frac{4}{4} \cdot 0}{1 + \frac{4}{4}} = \frac{0}{\frac{8}{4}} = 0\]
\[y_v = \frac{4 + \frac{4}{4} \cdot 0}{1 + \frac{4}{4}} = \frac{4}{\frac{8}{4}} = \frac{16}{8} = 2\]

Таким образом, координаты точки \(в\) равны \((0, 2)\).

б) Теперь мы знаем координаты точек \(о\), \(а\) и \(в\). Чтобы найти длину медианы треугольника \(оав\), проведенной из вершины \(о\), мы можем воспользоваться формулой для вычисления расстояния между двумя точками.

Длина медианы будет равна расстоянию между точками \(о\) и \(m\), где точка \(m\) является серединой отрезка, соединяющего точки \(а\) и \(в\).

Формула для вычисления расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\]

Подставим координаты точек и найдем длину медианы:

\[d = \sqrt{{(0 - 0)}^2 + (\frac{8}{5} - 2)^2} = \sqrt{{(\frac{8}{5} - 2)^2}}\]

Упростим выражение:

\[d = \sqrt{{(\frac{8}{5} - \frac{10}{5})^2}} = \sqrt{{(\frac{-2}{5})^2}} = \sqrt{{\frac{4}{25}}} = \frac{2}{5}\]

Таким образом, длина медианы треугольника \(оав\), проведенной из вершины \(о\), равна \(\frac{2}{5}\).