Дано: f(x)={x2+2x, если x∈[−4;1] x−−√+2, если x∈(1;4] Постройте график данной функции. Найдите интервалы, на которых

Чтобы нарисовать график данной функции, сначала нам нужно построить графики ее двух частей: $f_1(x)=x^2+2x$ и $f_2(x)=\sqrt{x}+2$. Затем мы объединим эти два графика в один.

Для построения графика каждой части функции, мы выберем несколько значений $x$, вычислим соответствующие значения $y$ и нарисуем соответствующие точки на координатной плоскости.

Для $f_1(x)=x^2+2x$:
1. Подставим несколько значений $x$ из интервала $[-4;1]$ и вычислим соответствующие значения $y$:
- При $x=-4$, $y=(-4{)}^2+2(-4)=16-8=8$.
- При $x=-3$, $y=(-3{)}^2+2(-3)=9-6=3$.
- При $x=-2$, $y=(-2{)}^2+2(-2)=4-4=0$.
- При $x=-1$, $y=(-1{)}^2+2(-1)=1-2=-1$.
- При $x=0$, $y=0^2+2(0)=0$.
- При $x=1$, $y=1^2+2(1)=1+2=3$.
2. На координатной плоскости отметим точки $(-4,8)$, $(-3,3)$, $(-2,0)$, $(-1,-1)$, $(0,0)$ и $(1,3)$. Затем соединим эти точки гладкой кривой. Получим участок графика функции $f_1(x)$.

Для $f_2(x)=\sqrt{x}+2$:
1. Подставим несколько значений $x$ из интервала $(1;4]$ и вычислим соответствующие значения $y$:
- При $x=2$, $y=\sqrt{2}+2\approx 3.41+2=5.41$.
- При $x=3$, $y=\sqrt{3}+2\approx 5.73+2=7.73$.
- При $x=4$, $y=\sqrt{4}+2=2+2=4$.
2. На координатной плоскости отметим точки $(2,5.41)$, $(3,7.73)$ и $(4,4)$. Затем соединим эти точки гладкой кривой. Получим участок графика функции $f_2(x)$.

Теперь объединим графики $f_1(x)$ и $f_2(x)$ в один график:
1. Отметим точку $(1,f_1(1))=(1,3)$, которая является началом участка графика $f_2(x)$.
2. Соединим конец графика $f_1(x)$, точку $(1,f_1(1))$ и график $f_2(x)$ гладкой кривой, получая график функции $f(x)$.

Таким образом, график данной функции будет выглядеть следующим образом:

$$\text{Unknown environment 'tikzpicture'}$$

Теперь перейдем к анализу функции $f(x)$:

1. Интервалы, на которых функция возрастает: $x\in (-1;4)$
2. Интервалы, на которых функция убывает: $x\in (-4;-1)$
3. Экстремумы функции (максимумы и минимумы):
- Минимум: Функция достигает своего минимального значения в точке $(-4,8)$.
- Максимум: Функция достигает своего максимального значения в точке $(4,4)$.
4. Наибольшие и наименьшие значения функции:
- Наибольшее значение: Максимальное значение функции равно 8 и достигается в точке $(-4,8)$.
- Наименьшее значение: Минимальное значение функции равно -1 и достигается в точке $(-1,-1)$.
5. Интервалы, на которых функция имеет постоянный знак:
- Функция положительна на интервалах: $x\in (-4;-1)$, $x\in (0;4)$
- Функция отрицательна на интервалах: $x\in (-1;0)$
6. Четность функции: Функция $f(x)$ не является четной или нечетной, так как не выполняется условие $f(-x)=f(x)$.
7. Нули функции (точки, где функция равна нулю):
- $(-1,-1)$ - пересечение с осью $x$
- $(0,0)$ - пересечение с осью $x$
- $(4,4)$ - пересечение с графиком $f_2(x)$
8. Точки пересечения с осями $x$ и $y$:
- Пересечение с осью $x$: $(-4,0)$, $(1,0)$, $(4,0)$
- Пересечение с осью $y$: $(0,2)$

Это все основные характеристики данной функции. Надеюсь, это помогло вам понять график и свойства этой функции. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.