Дано: f(x)={x2+2x, если x∈[−4;1] x−−√+2, если x∈(1;4] Постройте график данной функции. Найдите интервалы, на которых

Чтобы нарисовать график данной функции, сначала нам нужно построить графики ее двух частей: \(f_1(x) = x^2 + 2x\) и \(f_2(x) = \sqrt{x} + 2\). Затем мы объединим эти два графика в один.

Для построения графика каждой части функции, мы выберем несколько значений \(x\), вычислим соответствующие значения \(y\) и нарисуем соответствующие точки на координатной плоскости.

Для \(f_1(x) = x^2 + 2x\):
1. Подставим несколько значений \(x\) из интервала \([-4; 1]\) и вычислим соответствующие значения \(y\):
- При \(x = -4\), \(y = (-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8\).
- При \(x = -3\), \(y = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3\).
- При \(x = -2\), \(y = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0\).
- При \(x = -1\), \(y = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1\).
- При \(x = 0\), \(y = 0^2 + 2(0) = 0\).
- При \(x = 1\), \(y = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3\).
2. На координатной плоскости отметим точки \((-4, 8)\), \((-3, 3)\), \((-2, 0)\), \((-1, -1)\), \((0, 0)\) и \((1, 3)\). Затем соединим эти точки гладкой кривой. Получим участок графика функции \(f_1(x)\).

Для \(f_2(x) = \sqrt{x} + 2\):
1. Подставим несколько значений \(x\) из интервала \((1; 4]\) и вычислим соответствующие значения \(y\):
- При \(x = 2\), \(y = \sqrt{2} + 2 \approx 3.41 + 2 = 5.41\).
- При \(x = 3\), \(y = \sqrt{3} + 2 \approx 5.73 + 2 = 7.73\).
- При \(x = 4\), \(y = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4\).
2. На координатной плоскости отметим точки \((2, 5.41)\), \((3, 7.73)\) и \((4, 4)\). Затем соединим эти точки гладкой кривой. Получим участок графика функции \(f_2(x)\).

Теперь объединим графики \(f_1(x)\) и \(f_2(x)\) в один график:
1. Отметим точку \((1, f_1(1)) = (1, 3)\), которая является началом участка графика \(f_2(x)\).
2. Соединим конец графика \(f_1(x)\), точку \((1, f_1(1))\) и график \(f_2(x)\) гладкой кривой, получая график функции \(f(x)\).

Таким образом, график данной функции будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
ymin = -1,
ymax = 8,
xtick = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},
ytick = {-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8},
xticklabels = {\(-4\),\(-3\),\(-2\),\(-1\),\(0\),\(1\),\(2\),\(3\),\(4\)},
yticklabels = {\(-1\),\(0\),\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\)},
legend pos = north west,
]
\addplot [
domain = -4:1,
samples = 100,
color = blue,
] {x^2 + 2*x};
\addlegendentry{\(f_1(x)\)}
\addplot [
domain = 1:4,
samples = 100,
color = red,
] {sqrt(x) + 2};
\addlegendentry{\(f_2(x)\)}

% Add labels for the points
\node[label={180:{\((-4, 8)\)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:-4,8) {};
\node[label={0:{\((-3, 3)\)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:-3,3) {};
\node[label={180:{\((-2, 0)\)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:-2,0) {};
\node[label={0:{\((-1, -1)\)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:-1,-1) {};
\node[label={180:{\((0, 0)\)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:0,0) {};
\node[label={0:{\((1, 3)\)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:1,3) {};
\node[label={0:{\((2, 5.41)\)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:2,5.41) {};
\node[label={0:{\((3, 7.73)\)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:3,7.73) {};
\node[label={0:{\((4, 4)\)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:4,4) {};

% Add label at (1, f(1))
\node[label={180:{\((1, 3)\)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:1,3) {};

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь перейдем к анализу функции \(f(x)\):

1. Интервалы, на которых функция возрастает: \(x \in (−1; 4)\)
2. Интервалы, на которых функция убывает: \(x \in (−4; −1)\)
3. Экстремумы функции (максимумы и минимумы):
- Минимум: Функция достигает своего минимального значения в точке \((-4, 8)\).
- Максимум: Функция достигает своего максимального значения в точке \((4, 4)\).
4. Наибольшие и наименьшие значения функции:
- Наибольшее значение: Максимальное значение функции равно 8 и достигается в точке \((-4, 8)\).
- Наименьшее значение: Минимальное значение функции равно -1 и достигается в точке \((-1, -1)\).
5. Интервалы, на которых функция имеет постоянный знак:
- Функция положительна на интервалах: \(x \in (−4; -1)\), \(x \in (0; 4)\)
- Функция отрицательна на интервалах: \(x \in (−1; 0)\)
6. Четность функции: Функция \(f(x)\) не является четной или нечетной, так как не выполняется условие \(f(-x) = f(x)\).
7. Нули функции (точки, где функция равна нулю):
- \((-1, -1)\) - пересечение с осью \(x\)
- \((0, 0)\) - пересечение с осью \(x\)
- \((4, 4)\) - пересечение с графиком \(f_2(x)\)
8. Точки пересечения с осями \(x\) и \(y\):
- Пересечение с осью \(x\): \((-4, 0)\), \((1, 0)\), \((4, 0)\)
- Пересечение с осью \(y\): \((0, 2)\)

Это все основные характеристики данной функции. Надеюсь, это помогло вам понять график и свойства этой функции. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.