Дан куб с вершинами abcda1b1c1d1 и ребром 2. Точка M является центром основания a1b1c1d1. Точки E и H выбраны на отрезках bb1 и ac соответственно, так что е: b1b = 1:2 и ah: ac = 1:4. Выберите ортонормированный базис в пространстве и, используя разложение вектора в этом базисе, найдите: 1) длину отрезка а) am; б) en; в) mn; угол между векторами: а) bc1 и ac; б) a1d и vd1; в) nm
Suzi
Для начала, давайте выберем ортонормированный базис в пространстве данного куба. Поскольку у нас есть вершины куба с координатами, мы можем выбрать ортонормированный базис, используя координатные оси.
Пусть \(O\) будет началом координат, \(x\) - положительным направлением оси \(OA\), \(y\) - положительным направлением оси \(OD\), и \(z\) - положительным направлением оси \(OA_1\).
Теперь, чтобы найти координаты всех вершин куба, нам нужно знать координаты вершины \(a\). Поскольку вершина \(a\) имеет координаты \(a(0,0,0)\), мы можем легко найти координаты остальных вершин:
\(b(2,0,0)\),
\(c(2,2,0)\),
\(d(0,2,0)\),
\(a_1(0,0,2)\),
\(b_1(2,0,2)\),
\(c_1(2,2,2)\),
\(d_1(0,2,2)\).
Теперь, когда у нас есть координаты вершин, мы можем найти координаты точек \(E\) и \(H\).
Поскольку у нас дано, что \(e:b_1b = 1:2\), мы можем использовать формулу для нахождения точки на отрезке между двумя данными точками.
Координаты точки \(E\) можно выразить следующим образом:
\(E = b_1 + \frac{1}{3}(b - b_1) = b_1 + \frac{1}{3}(2-0, 0-0, 0-2) = b_1 + \left(\frac{2}{3},0,-\frac{2}{3}\right)\).
Теперь мы можем найти координаты точки \(H\) при условии, что \(ah:ac = 1:4\):
\(H = a + \frac{1}{5}(c-a) = (0,0,0) + \frac{1}{5}(2-0,2-0,0-0) = \left(\frac{2}{5},\frac{2}{5},0\right)\).
Теперь давайте перейдем к вычислению длин отрезков и углов векторов.
1) Длина отрезка \(am\):
Чтобы найти длину отрезка \(am\), нам нужно вычислить вектор \(\overrightarrow{am}\) и найти его длину.
Вектор \(\overrightarrow{am}\) можно найти, вычтя координаты точки \(a\) из координат точки \(m\):
\(\overrightarrow{am} = m - a = \left(\frac{1}{2},0,-1\right) - (0,0,0) = \left(\frac{1}{2},0,-1\right)\).
Теперь, чтобы найти длину вектора \(\overrightarrow{am}\), мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:
\(|\overrightarrow{am}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).
Таким образом, длина отрезка \(am\) равна \(\frac{\sqrt{5}}{2}\).
2) Длина отрезка \(en\):
Чтобы найти длину отрезка \(en\), нам нужно вычислить вектор \(\overrightarrow{en}\) и найти его длину.
Вектор \(\overrightarrow{en}\) можно найти, вычтя координаты точки \(e\) из координат точки \(n\):
\(\overrightarrow{en} = n - e = \left(\frac{2}{3},2,-\frac{2}{3}\right) - \left(\frac{2}{5},0,-\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{15},2,0\right)\).
Теперь, чтобы найти длину вектора \(\overrightarrow{en}\), мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:
\(|\overrightarrow{en}| = \sqrt{\left(\frac{2}{15}\right)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{4}{225} + 4} = \sqrt{\frac{4}{225} + \frac{900}{225}} = \sqrt{\frac{904}{225}} = \frac{2\sqrt{226}}{15}\).
Таким образом, длина отрезка \(en\) равна \(\frac{2\sqrt{226}}{15}\).
3) Длина отрезка \(mn\):
Чтобы найти длину отрезка \(mn\), нам нужно вычислить вектор \(\overrightarrow{mn}\) и найти его длину.
Вектор \(\overrightarrow{mn}\) можно найти, вычтя координаты точки \(m\) из координат точки \(n\):
\(\overrightarrow{mn} = n - m = \left(\frac{2}{3},2,-\frac{2}{3}\right) - \left(\frac{1}{2},0,-1\right) = \left(\frac{1}{6},2,\frac{1}{3}\right)\).
Теперь, чтобы найти длину вектора \(\overrightarrow{mn}\), мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:
\(|\overrightarrow{mn}| = \sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2 + 2^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + 4 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{1+144+4}{36}} = \sqrt{\frac{149}{36}} = \frac{\sqrt{149}}{6}\).
Таким образом, длина отрезка \(mn\) равна \(\frac{\sqrt{149}}{6}\).
4) Угол между векторами:
а) Угол между векторами \(\overrightarrow{bc_1}\) и \(\overrightarrow{ac}\):
Для нахождения угла между этими двумя векторами нам нужно сначала найти их скалярное произведение, а затем использовать формулу для нахождения угла:
\(\overrightarrow{bc_1} = c_1 - b = \left(2, 2, 2\right) - \left(2, 0, 0\right) = \left(0, 2, 2\right)\).
\(\overrightarrow{ac} = c - a = \left(2, 2, 0\right) - \left(0, 0, 0\right) = \left(2, 2, 0\right)\).
Скалярное произведение двух векторов можно найти следующим образом:
\(\overrightarrow{bc_1} \cdot \overrightarrow{ac} = (0, 2, 2) \cdot (2, 2, 0) = 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 4\).
Теперь давайте найдем длины этих двух векторов:
\(|\overrightarrow{bc_1}| = \sqrt{0^2+2^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
\(|\overrightarrow{ac}| = \sqrt{2^2+2^2+0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:
\(\cos\theta = \frac{\overrightarrow{bc_1} \cdot \overrightarrow{ac}}{|\overrightarrow{bc_1}| \cdot |\overrightarrow{ac}|} = \frac{4}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).
Таким образом, угол между векторами \(\overrightarrow{bc_1}\) и \(\overrightarrow{ac}\) равен \(\theta = \arccos{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{3}\) радиан.
б) Угол между векторами \(\overrightarrow{a_1d}\) и \(\overrightarrow{vd_1}\):
Для нахождения угла между этими двумя векторами нам нужно сначала найти их скалярное произведение, а затем использовать формулу для нахождения угла:
\(\overrightarrow{a_1d} = d - a_1 = \left(2, 2, 0\right) - \left(0, 0, 2\right) = \left(2, 2, -2\right)\).
\(\overrightarrow{vd_1} = d_1 - v = \left(0, 2, 2\right) - \left(0, 1, 2\right) = \left(0, 1, 0\right)\).
Скалярное произведение двух векторов можно найти следующим образом:
\(\overrightarrow{a_1d} \cdot \overrightarrow{vd_1} = (2, 2, -2) \cdot (0, 1, 0) = 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = 2\).
Теперь давайте найдем длины этих двух векторов:
\(|\overrightarrow{a_1d}| = \sqrt{2^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
\(|\overrightarrow{vd_1}| = \sqrt{0^2+1^2+0^2} = \sqrt{1} = 1\).
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:
\(\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a_1d} \cdot \overrightarrow{vd_1}}{|\overrightarrow{a_1d}| \cdot |\overrightarrow{vd_1}|} = \frac{2}{2\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Таким образом, угол между векторами \(\overrightarrow{a_1d}\) и \(\overrightarrow{vd_1}\) равен \(\theta = \arccos{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\pi}{6}\) радиан.
Пусть \(O\) будет началом координат, \(x\) - положительным направлением оси \(OA\), \(y\) - положительным направлением оси \(OD\), и \(z\) - положительным направлением оси \(OA_1\).
Теперь, чтобы найти координаты всех вершин куба, нам нужно знать координаты вершины \(a\). Поскольку вершина \(a\) имеет координаты \(a(0,0,0)\), мы можем легко найти координаты остальных вершин:
\(b(2,0,0)\),
\(c(2,2,0)\),
\(d(0,2,0)\),
\(a_1(0,0,2)\),
\(b_1(2,0,2)\),
\(c_1(2,2,2)\),
\(d_1(0,2,2)\).
Теперь, когда у нас есть координаты вершин, мы можем найти координаты точек \(E\) и \(H\).
Поскольку у нас дано, что \(e:b_1b = 1:2\), мы можем использовать формулу для нахождения точки на отрезке между двумя данными точками.
Координаты точки \(E\) можно выразить следующим образом:
\(E = b_1 + \frac{1}{3}(b - b_1) = b_1 + \frac{1}{3}(2-0, 0-0, 0-2) = b_1 + \left(\frac{2}{3},0,-\frac{2}{3}\right)\).
Теперь мы можем найти координаты точки \(H\) при условии, что \(ah:ac = 1:4\):
\(H = a + \frac{1}{5}(c-a) = (0,0,0) + \frac{1}{5}(2-0,2-0,0-0) = \left(\frac{2}{5},\frac{2}{5},0\right)\).
Теперь давайте перейдем к вычислению длин отрезков и углов векторов.
1) Длина отрезка \(am\):
Чтобы найти длину отрезка \(am\), нам нужно вычислить вектор \(\overrightarrow{am}\) и найти его длину.
Вектор \(\overrightarrow{am}\) можно найти, вычтя координаты точки \(a\) из координат точки \(m\):
\(\overrightarrow{am} = m - a = \left(\frac{1}{2},0,-1\right) - (0,0,0) = \left(\frac{1}{2},0,-1\right)\).
Теперь, чтобы найти длину вектора \(\overrightarrow{am}\), мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:
\(|\overrightarrow{am}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).
Таким образом, длина отрезка \(am\) равна \(\frac{\sqrt{5}}{2}\).
2) Длина отрезка \(en\):
Чтобы найти длину отрезка \(en\), нам нужно вычислить вектор \(\overrightarrow{en}\) и найти его длину.
Вектор \(\overrightarrow{en}\) можно найти, вычтя координаты точки \(e\) из координат точки \(n\):
\(\overrightarrow{en} = n - e = \left(\frac{2}{3},2,-\frac{2}{3}\right) - \left(\frac{2}{5},0,-\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{15},2,0\right)\).
Теперь, чтобы найти длину вектора \(\overrightarrow{en}\), мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:
\(|\overrightarrow{en}| = \sqrt{\left(\frac{2}{15}\right)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{4}{225} + 4} = \sqrt{\frac{4}{225} + \frac{900}{225}} = \sqrt{\frac{904}{225}} = \frac{2\sqrt{226}}{15}\).
Таким образом, длина отрезка \(en\) равна \(\frac{2\sqrt{226}}{15}\).
3) Длина отрезка \(mn\):
Чтобы найти длину отрезка \(mn\), нам нужно вычислить вектор \(\overrightarrow{mn}\) и найти его длину.
Вектор \(\overrightarrow{mn}\) можно найти, вычтя координаты точки \(m\) из координат точки \(n\):
\(\overrightarrow{mn} = n - m = \left(\frac{2}{3},2,-\frac{2}{3}\right) - \left(\frac{1}{2},0,-1\right) = \left(\frac{1}{6},2,\frac{1}{3}\right)\).
Теперь, чтобы найти длину вектора \(\overrightarrow{mn}\), мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:
\(|\overrightarrow{mn}| = \sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2 + 2^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + 4 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{1+144+4}{36}} = \sqrt{\frac{149}{36}} = \frac{\sqrt{149}}{6}\).
Таким образом, длина отрезка \(mn\) равна \(\frac{\sqrt{149}}{6}\).
4) Угол между векторами:
а) Угол между векторами \(\overrightarrow{bc_1}\) и \(\overrightarrow{ac}\):
Для нахождения угла между этими двумя векторами нам нужно сначала найти их скалярное произведение, а затем использовать формулу для нахождения угла:
\(\overrightarrow{bc_1} = c_1 - b = \left(2, 2, 2\right) - \left(2, 0, 0\right) = \left(0, 2, 2\right)\).
\(\overrightarrow{ac} = c - a = \left(2, 2, 0\right) - \left(0, 0, 0\right) = \left(2, 2, 0\right)\).
Скалярное произведение двух векторов можно найти следующим образом:
\(\overrightarrow{bc_1} \cdot \overrightarrow{ac} = (0, 2, 2) \cdot (2, 2, 0) = 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 4\).
Теперь давайте найдем длины этих двух векторов:
\(|\overrightarrow{bc_1}| = \sqrt{0^2+2^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
\(|\overrightarrow{ac}| = \sqrt{2^2+2^2+0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:
\(\cos\theta = \frac{\overrightarrow{bc_1} \cdot \overrightarrow{ac}}{|\overrightarrow{bc_1}| \cdot |\overrightarrow{ac}|} = \frac{4}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).
Таким образом, угол между векторами \(\overrightarrow{bc_1}\) и \(\overrightarrow{ac}\) равен \(\theta = \arccos{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{3}\) радиан.
б) Угол между векторами \(\overrightarrow{a_1d}\) и \(\overrightarrow{vd_1}\):
Для нахождения угла между этими двумя векторами нам нужно сначала найти их скалярное произведение, а затем использовать формулу для нахождения угла:
\(\overrightarrow{a_1d} = d - a_1 = \left(2, 2, 0\right) - \left(0, 0, 2\right) = \left(2, 2, -2\right)\).
\(\overrightarrow{vd_1} = d_1 - v = \left(0, 2, 2\right) - \left(0, 1, 2\right) = \left(0, 1, 0\right)\).
Скалярное произведение двух векторов можно найти следующим образом:
\(\overrightarrow{a_1d} \cdot \overrightarrow{vd_1} = (2, 2, -2) \cdot (0, 1, 0) = 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = 2\).
Теперь давайте найдем длины этих двух векторов:
\(|\overrightarrow{a_1d}| = \sqrt{2^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
\(|\overrightarrow{vd_1}| = \sqrt{0^2+1^2+0^2} = \sqrt{1} = 1\).
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:
\(\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a_1d} \cdot \overrightarrow{vd_1}}{|\overrightarrow{a_1d}| \cdot |\overrightarrow{vd_1}|} = \frac{2}{2\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Таким образом, угол между векторами \(\overrightarrow{a_1d}\) и \(\overrightarrow{vd_1}\) равен \(\theta = \arccos{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\pi}{6}\) радиан.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
