Дан куб с вершинами abcda1b1c1d1 и ребром 2. Точка M является центром основания a1b1c1d1. Точки E и H выбраны

Для начала, давайте выберем ортонормированный базис в пространстве данного куба. Поскольку у нас есть вершины куба с координатами, мы можем выбрать ортонормированный базис, используя координатные оси.

Пусть $O$ будет началом координат, $x$ - положительным направлением оси $OA$, $y$ - положительным направлением оси $OD$, и $z$ - положительным направлением оси $O{A}_1$.

Теперь, чтобы найти координаты всех вершин куба, нам нужно знать координаты вершины $a$. Поскольку вершина $a$ имеет координаты $a(0,0,0)$, мы можем легко найти координаты остальных вершин:

$b(2,0,0)$,
$c(2,2,0)$,
$d(0,2,0)$,
$a_1(0,0,2)$,
$b_1(2,0,2)$,
$c_1(2,2,2)$,
$d_1(0,2,2)$.

Теперь, когда у нас есть координаты вершин, мы можем найти координаты точек $E$ и $H$.

Поскольку у нас дано, что $e:b_{1}b=1:2$, мы можем использовать формулу для нахождения точки на отрезке между двумя данными точками.
Координаты точки $E$ можно выразить следующим образом:

$E=b_1+\frac{1}{3}(b-b_1)=b_1+\frac{1}{3}(2-0,0-0,0-2)=b_1+(\frac{2}{3},0,-\frac{2}{3})$.

Теперь мы можем найти координаты точки $H$ при условии, что $ah:ac=1:4$:

$H=a+\frac{1}{5}(c-a)=(0,0,0)+\frac{1}{5}(2-0,2-0,0-0)=(\frac{2}{5},\frac{2}{5},0)$.

Теперь давайте перейдем к вычислению длин отрезков и углов векторов.

1) Длина отрезка $am$:
Чтобы найти длину отрезка $am$, нам нужно вычислить вектор $\overrightarrow{am}$ и найти его длину.
Вектор $\overrightarrow{am}$ можно найти, вычтя координаты точки $a$ из координат точки $m$:

$\overrightarrow{am}=m-a=(\frac{1}{2},0,-1)-(0,0,0)=(\frac{1}{2},0,-1)$.

Теперь, чтобы найти длину вектора $\overrightarrow{am}$, мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:

$|\overrightarrow{am}|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+0^2+(-1{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, длина отрезка $am$ равна $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

2) Длина отрезка $en$:
Чтобы найти длину отрезка $en$, нам нужно вычислить вектор $\overrightarrow{en}$ и найти его длину.

Вектор $\overrightarrow{en}$ можно найти, вычтя координаты точки $e$ из координат точки $n$:

$\overrightarrow{en}=n-e=(\frac{2}{3},2,-\frac{2}{3})-(\frac{2}{5},0,-\frac{2}{3})=(\frac{2}{15},2,0)$.

Теперь, чтобы найти длину вектора $\overrightarrow{en}$, мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:

$|\overrightarrow{en}|=\sqrt{{\left(\frac{2}{15}\right)}^2+2^2+0^2}=\sqrt{\frac{4}{225}+4}=\sqrt{\frac{4}{225}+\frac{900}{225}}=\sqrt{\frac{904}{225}}=\frac{2\sqrt{226}}{15}$.

Таким образом, длина отрезка $en$ равна $\frac{2\sqrt{226}}{15}$.

3) Длина отрезка $mn$:
Чтобы найти длину отрезка $mn$, нам нужно вычислить вектор $\overrightarrow{mn}$ и найти его длину.

Вектор $\overrightarrow{mn}$ можно найти, вычтя координаты точки $m$ из координат точки $n$:

$\overrightarrow{mn}=n-m=(\frac{2}{3},2,-\frac{2}{3})-(\frac{1}{2},0,-1)=(\frac{1}{6},2,\frac{1}{3})$.

Теперь, чтобы найти длину вектора $\overrightarrow{mn}$, мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:

$|\overrightarrow{mn}|=\sqrt{{\left(\frac{1}{6}\right)}^2+2^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{36}+4+\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{1+144+4}{36}}=\sqrt{\frac{149}{36}}=\frac{\sqrt{149}}{6}$.

Таким образом, длина отрезка $mn$ равна $\frac{\sqrt{149}}{6}$.

4) Угол между векторами:
а) Угол между векторами $\overrightarrow{b{c}_1}$ и $\overrightarrow{ac}$:
Для нахождения угла между этими двумя векторами нам нужно сначала найти их скалярное произведение, а затем использовать формулу для нахождения угла:

$\overrightarrow{b{c}_1}=c_1-b=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2)$.

$\overrightarrow{ac}=c-a=(2,2,0)-(0,0,0)=(2,2,0)$.

Скалярное произведение двух векторов можно найти следующим образом:

$\overrightarrow{b{c}_1}\cdot \overrightarrow{ac}=(0,2,2)\cdot (2,2,0)=0\cdot 2+2\cdot 2+2\cdot 0=4$.

Теперь давайте найдем длины этих двух векторов:

$|\overrightarrow{b{c}_1}|=\sqrt{0^2+2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

$|\overrightarrow{ac}|=\sqrt{2^2+2^2+0^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{b{c}_1}\cdot \overrightarrow{ac}}{|\overrightarrow{b{c}_1}|\cdot |\overrightarrow{ac}|}=\frac{4}{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.

Таким образом, угол между векторами $\overrightarrow{b{c}_1}$ и $\overrightarrow{ac}$ равен $\theta =\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$ радиан.

б) Угол между векторами $\overrightarrow{a_{1}d}$ и $\overrightarrow{v{d}_1}$:
Для нахождения угла между этими двумя векторами нам нужно сначала найти их скалярное произведение, а затем использовать формулу для нахождения угла:

$\overrightarrow{a_{1}d}=d-a_1=(2,2,0)-(0,0,2)=(2,2,-2)$.

$\overrightarrow{v{d}_1}=d_1-v=(0,2,2)-(0,1,2)=(0,1,0)$.

Скалярное произведение двух векторов можно найти следующим образом:

$\overrightarrow{a_{1}d}\cdot \overrightarrow{v{d}_1}=(2,2,-2)\cdot (0,1,0)=2\cdot 0+2\cdot 1+(-2)\cdot 0=2$.

Теперь давайте найдем длины этих двух векторов:

$|\overrightarrow{a_{1}d}|=\sqrt{2^2+2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

$|\overrightarrow{v{d}_1}|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=\sqrt{1}=1$.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a_{1}d}\cdot \overrightarrow{v{d}_1}}{|\overrightarrow{a_{1}d}|\cdot |\overrightarrow{v{d}_1}|}=\frac{2}{2\sqrt{3}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, угол между векторами $\overrightarrow{a_{1}d}$ и $\overrightarrow{v{d}_1}$ равен $\theta =\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$ радиан.