DABC is a triangular pyramid. Points K and M are the midpoints of the edges AB and BC, respectively. Identify a vector

Хорошо, давайте начнем с задачи о пирамиде DABC.

а) Чтобы найти вектор, началом и концом которого будут вершины пирамиды или указанные точки, умножим вектор VK на 2.

Для этого найдем координаты вершин В и К. Пусть координаты вершины А - (x1, y1, z1), В - (x2, y2, z2), C - (x3, y3, z3), а K - (xk, yk, zk).

Так как K - точка на отрезке AB, то координаты точки K равны:

\(xk = \frac{{x1 + x2}}{2}\),

\(yk = \frac{{y1 + y2}}{2}\),

\(zk = \frac{{z1 + z2}}{2}\).

Теперь умножим вектор VK на 2:

\(2VK = 2(xk - x1, yk - y1, zk - z1)\).

b) Чтобы найти вектор AD + DB, сложим векторы AD и DB.

Координаты вектора AD равны:

\((x_1 - x_4, y_1 - y_4, z_1 - z_4)\).

Координаты вектора DB равны:

\((x_2 - x_4, y_2 - y_4, z_2 - z_4)\).

Сложим координаты этих векторов, чтобы получить итоговый вектор AD + DB.

c) Чтобы найти вектор AC - AK, вычтем координаты вектора AK из координат вектора AC.

Координаты вектора AC равны:

\((x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1)\).

Координаты вектора AK равны:

\((x_k - x_1, y_k - y_1, z_k - z_1)\).

Вычтем координаты вектора AK из координат вектора AC, чтобы получить итоговый вектор AC - AK.

d) Чтобы найти вектор 1/2VC + MD + DA, сложим эти векторы с соответствующими координатами.

Координаты вектора VC равны:

\((x_3 - x_5, y_3 - y_5, z_3 - z_5)\).

Координаты вектора MD равны:

\((x_6 - x_2, y_6 - y_2, z_6 - z_2)\).

Координаты вектора DA равны:

\((x_1 - x_4, y_1 - y_4, z_1 - z_4)\).

Сложим координаты этих векторов, чтобы получить итоговый вектор 1/2VC + MD + DA.

Теперь перейдем к следующей задаче о кубе ABCDA1B1C1D1 и проверим, являются ли векторы AB1, AD и B1D компланарными.

Для этого будем использовать определитель матрицы, состоящий из координат векторов.

Сформируем матрицу:

\[
\begin{bmatrix}
x_{b1}-x_a & y_{b1}-y_a & z_{b1}-z_a \\
x_d-x_a & y_d-y_a & z_d-z_a \\
x_{b1}-x_d & y_{b1}-y_d & z_{b1}-z_d \\
\end{bmatrix}
\]

Вычислим определитель этой матрицы. Если определитель равен нулю, то векторы AB1, AD и B1D являются компланарными, иначе они не компланарны.