Чтобы раскрыть содержание и объем теста, я предлагаю вам изменить формулировку следующим образом: 1. Парафразируйте

1. Чтобы найти площадь равностороннего треугольника со стороной, равной \(303 - \sqrt{\text{мм}}\), мы можем использовать формулу для площади треугольника. Уравнение для площади равностороннего треугольника имеет вид:

\[Площадь = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{сторона}^2\]

В данном случае значение стороны равно \(303 - \sqrt{\text{мм}}\), поэтому мы можем подставить это значение в формулу и решить уравнение.

Подставляем значение стороны:

\[Площадь = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (303 - \sqrt{\text{мм}})^2\]

Упрощаем:

\[Площадь = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (91809 - 606\sqrt{\text{мм}} + \text{мм})\]

Упрощая дальше:

\[Площадь = 22852.25 - 151.5\sqrt{3} \text{ квадратных мм}\]

Таким образом, площадь равностороннего треугольника со стороной, равной \(303 - \sqrt{\text{мм}}\), равна \(22852.25 - 151.5\sqrt{3}\) квадратных миллиметров.

2. Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной, равной \(303 - \sqrt{\text{мм}}\), мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности в треугольник. Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник это:

\[Радиус_{\text{вписанной}} = \frac{\text{сторона}}{\sqrt{3}}\]

Подставляем значение стороны:

\[Радиус_{\text{вписанной}} = \frac{303 - \sqrt{\text{мм}}}{\sqrt{3}}\]

Выражаем радиус в более удобной форме:

\[Радиус_{\text{вписанной}} = \frac{303}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{\text{мм}}}{\sqrt{3}}\]

Далее, мы можем упростить это значение:

\[Радиус_{\text{вписанной}} = 101\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\text{мм}}}\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной \(303 - \sqrt{\text{мм}}\), равен \(101\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\text{мм}}}\).

3. Чтобы найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной, равной \(303 - \sqrt{\text{мм}}\), мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности. Формула для радиуса описанной окружности в равносторонний треугольник имеет вид:

\[Радиус_{\text{описанной}} = \frac{\text{сторона}}{2\sin{\frac{\pi}{3}}}\]

Здесь \(\sin{\frac{\pi}{3}}\) представляет собой синус 60 градусов, что равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Подставляем значение стороны:

\[Радиус_{\text{описанной}} = \frac{303 - \sqrt{\text{мм}}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упрощаем:

\[Радиус_{\text{описанной}} = \frac{303 - \sqrt{\text{мм}}}{\sqrt{3}}\]

Далее, мы можем упростить это значение:

\[Радиус_{\text{описанной}} = 101\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\text{мм}}}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной \(303 - \sqrt{\text{мм}}\), равен \(101\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\text{мм}}}\).