Что является значениями корня из 7*ctg x, если sin^2 x=4/11?

Данная задача требует нам найти значения корня из выражения \(7 \cdot \operatorname{ctg} x\) при условии, что \(\sin^2 x = \frac{4}{11}\).

Для начала рассмотрим выражение \(\sin^2 x = \frac{4}{11}\). Заметим, что \(\sin^2 x\) обозначает квадрат синуса угла \(x\). Чтобы найти значения синуса, нам необходимо извлечь квадратный корень из \(\frac{4}{11}\):

\[
\sin x = \sqrt{\frac{4}{11}}
\]

Теперь перейдем к рассмотрению выражения \(7 \cdot \operatorname{ctg} x\). Формула вычисления котангенса данного угла выглядит следующим образом:

\[
\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tan x}
\]

Тангенс угла \(x\) равен отношению синуса к косинусу:

\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]

Известно, что \(\sin x\) равно корню из \(\frac{4}{11}\). Для нахождения \(\cos x\) нам необходимо воспользоваться тригонометрической теоремой Пифагора:

\[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
\]

Подставляем значение \(\sin x\):

\[
\left(\sqrt{\frac{4}{11}}\right)^2 + \cos^2 x = 1
\]

\[
\frac{4}{11} + \cos^2 x = 1
\]

Вычитаем \(\frac{4}{11}\) из обеих сторон уравнения:

\[
\cos^2 x = 1 - \frac{4}{11} = \frac{7}{11}
\]

Теперь извлекаем квадратный корень из \(\frac{7}{11}\):

\[
\cos x = \sqrt{\frac{7}{11}}
\]

Имея значения синуса и косинуса, мы можем найти значение котангенса:

\[
\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\sin x}
\]

Подставляем найденные значения:

\[
\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{\frac{7}{11}}}{\sqrt{\frac{4}{11}}}
\]

Упрощаем дробь, домножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{11}\):

\[
\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{\frac{7}{11}} \cdot \sqrt{11}}{\sqrt{\frac{4}{11}} \cdot \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}
\]

Таким образом, значения корня из \(7 \cdot \operatorname{ctg} x\) равны \(\frac{\sqrt{7}}{2}\).