Что такое скалярное произведение векторов (вектор а + вектор b) и (вектор а - вектор

Скалярное произведение векторов определяется как произведение длин векторов и косинуса угла между ними. Для двух векторов а и b, скалярное произведение обозначается как \( \vec{а} \cdot \vec{b} \).

Давайте рассмотрим сначала выражение \( \vec{a} + \vec{b} \). Для сложения векторов, мы складываем их соответствующие компоненты. Если векторы заданы в трехмерном пространстве, то для векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \), сумма будет:

\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \).

Теперь давайте рассмотрим выражение \( \vec{a} - \vec{b} \). Для вычитания векторов, мы вычитаем соответствующие компоненты. Если векторы заданы в трехмерном пространстве, то для векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \), разность будет:

\( \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3) \).

Теперь давайте вычислим скалярное произведение для векторов \( \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{a} - \vec{b} \). При вычислении скалярного произведения мы умножаем соответствующие компоненты векторов и затем складываем полученные произведения. Если векторы заданы в трехмерном пространстве, то скалярное произведение будет:

\( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = (a_1 + b_1)(a_1 - b_1) + (a_2 + b_2)(a_2 - b_2) + (a_3 + b_3)(a_3 - b_3) \).

Дальше раскрываем скобки и производим необходимые вычисления:

\( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = a_1^2 - b_1^2 + a_2^2 - b_2^2 + a_3^2 - b_3^2 \).

Таким образом, мы получили выражение для скалярного произведения векторов \( \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{a} - \vec{b} \).

Надеюсь, это пошаговое объяснение поможет вам понять, что такое скалярное произведение векторов \( \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{a} - \vec{b} \). Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!