Что такое система на плоскости?

Система на плоскости - это упорядоченная коллекция уравнений или неравенств, определяющих графики геометрических фигур на плоскостной координатной системе. Обычно системы на плоскости состоят из двух уравнений с двумя переменными.

Для начала, давайте рассмотрим, что такое координатная плоскость. Координатная плоскость представляет собой двумерное пространство, которое состоит из осей - горизонтальной оси \(x\) и вертикальной оси \(y\). Каждый точке в этом пространстве можно однозначно сопоставить уникальные значения \(x\) и \(y\), которые называются координатами этой точки.

Теперь, представим, что у нас есть система из двух уравнений на этой плоскости. Эти уравнения могут быть линейными или нелинейными.

Для примера, рассмотрим систему линейных уравнений:
\[
\begin{cases}
y = 2x + 3 \\
y = -x + 1
\end{cases}
\]

Для решения такой системы уравнений, мы должны найти значения \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют обоим уравнениям. Мы можем использовать различные методы для решения систем уравнений, такие как метод замещения, метод сложения/вычитания или метод графического представления.

Давайте решим эту систему с помощью метода сложения/вычитания. Мы сначала вычтем первое уравнение из второго:
\[
\begin{align*}
(y - 2x - 3) - (y - x + 1) &= 0 \\
y - 2x - 3 - y + x - 1 &= 0 \\
-x - 4 &= 0 \\
x &= -4
\end{align*}
\]

Теперь мы знаем значение \(x\) и можем подставить его в любое из уравнений, чтобы найти значение \(y\). Давайте подставим \(x = -4\) в первое уравнение:
\[
\begin{align*}
y &= 2x + 3 \\
y &= 2(-4) + 3 \\
y &= -8 + 3 \\
y &= -5
\end{align*}
\]

Таким образом, решение данной системы уравнений равно \(x = -4\) и \(y = -5\).

Альтернативным способом решения системы уравнений может быть графическое представление. Мы можем построить графики обоих уравнений на координатной плоскости и найти точку их пересечения. В данном случае, на графике можно увидеть, что линии пересекаются в точке \((-4, -5)\), что соответствует нашему решению.

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.