Что такое радиус основания конуса, если круговой сектор размером 13 см свернут в виде его боковой поверхности, а высота

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом давайте определим, что такое радиус основания конуса. Радиус \( r \) - это расстояние от центра окружности до её края. В данной задаче нам нужно найти радиус основания конуса.

Второй шаг заключается в определении формулы для нахождения площади боковой поверхности конуса, которая нам дана. Формула для площади боковой поверхности конуса выглядит следующим образом:

\[ S = \pi \cdot r \cdot l \]

где \( S \) - площадь боковой поверхности, \( r \) - радиус основания конуса, а \( l \) - образующая конуса.

Третий шаг заключается в нахождении образующей конуса \( l \). Мы знаем, что боковая поверхность конуса является круговым сектором, который свернут в виде конуса. Поэтому длина окружности равна периметру кругового сектора.

У нас есть формула для нахождения периметра кругового сектора:

\[ P = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{ \theta }{ 360 } \]

где \( P \) - периметр кругового сектора, \( r \) - радиус сектора, а \( \theta \) - центральный угол сектора.

В нашем случае, периметр сектора равен 13 см (как указано в задаче), а центральный угол равен 360° (так как сектор свернут в виде боковой поверхности конуса). Подставим эти значения в формулу и найдем радиус сектора:

\[ r = \frac{ P \cdot 360 }{ 2 \cdot \pi \cdot \theta } \]

Четвертым шагом мы нашли радиус сектора, который является образующей конуса. Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности конуса, используя найденные значения:

\[ S = \pi \cdot r \cdot l \]

Заметим, что образующая конуса \( l \) и радиус основания \( r \) по формуле задачи связаны, поэтому посчитаем площадь боковой поверхности \( S \) втерминанах \( l \):

\[ S = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot r \cdot \frac{ P \cdot 360 }{ 2 \cdot \pi \cdot \theta } \]

Приравняем полученное выражение к заданной длине боковой поверхности, которая составляет 13 см:

\[ \pi \cdot r \cdot \frac{ P \cdot 360 }{ 2 \cdot \pi \cdot \theta } = 13 \]

Таким образом, мы можем решить это уравнение и найти значение радиуса основания конуса \( r \):

\[ r = \frac{ 13 \cdot 2 \cdot \pi \cdot \theta }{ P \cdot 360 } \]

Теперь давайте подставим известные значения в формулу:

\[ r = \frac{ 13 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 360 }{ P \cdot 360 } \]

Окончательно:

\[ r = \frac{ 13 \cdot 2 \cdot \pi }{ P } \]

Подставим значение периметра \( P = 13 \) и вычислим радиус основания конуса:

\[ r = \frac{ 13 \cdot 2 \cdot \pi }{ 13 } \]

\[ r = 2 \cdot \pi \]

Таким образом, радиус основания конуса равен \( 2 \cdot \pi \) см.