Что самое большое расстояние между двумя точками на поверхности цилиндра, если его боковая поверхность развернута

Для решения этой задачи, нам нужно использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками на поверхности цилиндра.

Формула для расстояния между двумя точками \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \) на поверхности цилиндра:
\[ d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}} \]

В данной задаче, нам дан квадратная развернутая боковая поверхность цилиндра, со стороной, равной \( \frac{6\pi}{6 \cdot \pi^2} \cdot \sqrt{1 + \pi^2} \) (обратите внимание, что мы используем формулу, данную в условии задачи). Мы должны найти наибольшее возможное расстояние между двумя точками на этой поверхности.

Для нахождения наибольшего расстояния, нам нужно найти диаметр этой поверхности. Так как поверхность является квадратом, и диаметр - это диагональ квадрата. Диагональ квадрата можно найти, используя теорему Пифагора.

Пусть \( d \) - диагональ квадрата (расстояние между двумя противоположными углами квадрата), а \( a \) - сторона квадрата. Тогда по теореме Пифагора:
\[ d^2 = a^2 + a^2 \]
\[ d^2 = 2a^2 \]

В нашем случае, сторона квадрата равна \( \frac{6\pi}{6 \cdot \pi^2} \cdot \sqrt{1 + \pi^2} \). Подставим это значение в формулу Пифагора и найдем значение \( d \):
\[ d = \sqrt{2 \left(\frac{6\pi}{6 \cdot \pi^2} \cdot \sqrt{1 + \pi^2}\right)^2} \]
\[ d = \sqrt{2 \cdot \frac{(6\pi)^2}{(6 \cdot \pi^2)^2} \cdot (1 + \pi^2)} \]
\[ d = \sqrt{2 \cdot \frac{36\pi^2}{36 \cdot \pi^4} \cdot (1 + \pi^2)} \]
\[ d = \sqrt{\frac{2}{\pi^2} \cdot (1 + \pi^2)} \]

Таким образом, самое большое расстояние между двумя точками на поверхности цилиндра, если его боковая поверхность развернута и представляет собой указанный квадрат, равно \( \sqrt{\frac{2}{\pi^2} \cdot (1 + \pi^2)} \).