Что предполагается найти, если периметр прямоугольника равен 12 см? ответ: Определите максимальную площадь

Периметр прямоугольника выражается через суммы его сторон и равен двойному произведению длины и ширины прямоугольника. В данной задаче нам известно, что периметр равен 12 см, и мы должны найти максимальную площадь такого прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника будет равной \(x\) см, а ширина – \(y\) см. Тогда по определению периметра:
\[2(x + y) = 12.\]

Переставив уравнение, получим:
\[x + y = 6.\]

Нам нужно найти максимальную площадь прямоугольника при заданном периметре. Площадь прямоугольника определяется как произведение его длины и ширины:
\[S = xy.\]

Мы извлечем из этой формулы значение одной из переменных (например, \(y\)) и подставим его в уравнение площади, чтобы получить выражение для площади прямоугольника через одну переменную:
\[S = x(6 - x).\]

Теперь у нас есть формула площади прямоугольника через одну переменную. Чтобы найти максимальное значение площади, необходимо найти значение \(x\), при котором производная площади равна нулю.

Дифференцируем площадь по переменной \(x\):
\[\frac{{dS}}{{dx}} = 6 - 2x.\]

Приравниваем производную к нулю:
\[6 - 2x = 0.\]

Решим это уравнение, чтобы найти значение \(x\):
\[2x = 6,\]
\[x = 3.\]

Таким образом, при длине прямоугольника \(x = 3\) см ширина также будет равна \(y = 3\) см (вытекает из уравнения \(x + y = 6\)). Это значит, что максимальная площадь прямоугольника с периметром 12 см равна
\[S = 3 \cdot 3 = 9 \, \text{см}^2.\]