Что нужно найти, если из точки а проведены перпендикуляр аа1 и наклонная ав к данной плоскости, при условии, что ав

Дана следующая задача: из точки \(а\) проведены перпендикуляр \(аа_1\) и наклонная \(ав\) к данной плоскости, при условии, что \(ав = 2 \sqrt{10}\) см и \(а_1в = 3 аа_1\). Требуется найти неизвестную величину.

Для начала, обратимся к геометрическому представлению задачи. По условию, у нас есть точка \(а\), из которой проведены перпендикуляр \(аа_1\) и наклонная \(ав\) к плоскости. Зная, что \(ав = 2 \sqrt{10}\) см, мы можем обозначить эту величину на рисунке.

Теперь нам нужно обратить внимание на равенство \(а_1в = 3 аа_1\). Заметим, что это отношение связывает длины сторон треугольника. Поскольку \(а_1\) и \(а\) являются концами перпендикуляра, то \(аа_1\) является основанием прямоугольного треугольника. А весь треугольник \(а_1ва\) является прямоугольным, так как \(аа_1\) - перпендикуляр к плоскости \(ав\). Согласно теореме Пифагора, у нас есть следующее соотношение:

\[\sqrt{(аа_1)^2 + (а_1в)^2} = \sqrt{(ав)^2}\]

Заменив известные значения, получим:

\[\sqrt{(аа_1)^2 + (3 аа_1)^2} = 2 \sqrt{10}\]

Упростив это уравнение, имеем:

\[\sqrt{аа_1^2 + 9 аа_1^2} = 2 \sqrt{10}\]

\[ \sqrt{10 аа_1^2} = 2 \sqrt{10}\]

Убрав корень по обе стороны уравнения, получим:

\[aa_1^2 = \frac{(2 \sqrt{10})^2}{10}\]

Вычислив это выражение, имеем:

\[aa_1^2 = \frac{4 \cdot 10}{10}\]

\[aa_1^2 = 4\]

\[aa_1 = 2\]

Таким образом, ответ на задачу составляет \(aa_1 = 2\). Ответом является длина основания перпендикуляра \(аа_1\).