Что будет являться суммой площадей всех шестиугольников, если в исходном шестиугольнике со стороной 1 будут

Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Нам необходимо вычислить площадь изначального шестиугольника. Для этого мы можем использовать формулу для площади правильного шестиугольника, которая составляет $\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}$, где $a$ - длина стороны шестиугольника. В данном случае, длина стороны равна 1, поэтому площадь изначального шестиугольника равна $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Теперь, чтобы рассчитать площадь следующего шестиугольника, который образуется соединением середин сторон предыдущего шестиугольника, нам понадобится найти длину стороны нового шестиугольника. Для этого мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному стороной изначального шестиугольника и линией, соединяющей середины соседних сторон $c^2=a^2+b^2$, где $c$ - длина стороны нового шестиугольника, а $a$ и $b$ - длины стороны изначального шестиугольника. В данном случае, $a$ равна 1, поэтому $c^2=1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$, отсюда $c=\sqrt{\frac{5}{4}}$.

Шаг 3: Теперь, чтобы найти площадь нового шестиугольника, мы можем снова использовать формулу для площади правильного шестиугольника с новой длиной стороны. Площадь нового шестиугольника будет составлять $\frac{3\sqrt{3}{c}^2}{2}$, подставим $c=\sqrt{\frac{5}{4}}$ и вычислим эту площадь.

Шаг 4: Повторим шаги 2 и 3, чтобы найти площадь следующего шестиугольника, образуемого соединением середин сторон предыдущего шестиугольника. Продолжим этот процесс до тех пор, пока не достигнем седьмого шестиугольника.

Шаг 5: Наконец, найдем сумму площадей всех шестиугольников, добавив площади каждого шестиугольника, полученного на шаге 1. Посчитаем эту сумму.

Давайте проделаем эти шаги вместе:

Шаг 1: Площадь изначального шестиугольника:
$$S_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Длина стороны нового шестиугольника:
$$c=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Шаг 3: Площадь нового шестиугольника:
$$S_2=\frac{3\sqrt{3}{c}^2}{2}$$

Шаг 4: Продолжим вычислять площади следующих шестиугольников, используя предыдущие результаты.

Шаг 5: Найдем сумму площадей всех шестиугольников:
$$S_{\text{общая}}=S_1+S_2+S_3+\dots$$

Проведя все эти вычисления, мы сможем найти итоговый ответ.