Четырехугольник задан координатами вершин a (1; 1), b(2; 3), c(0; 4) и d(-1; 2). Определите тип четырехугольника

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

а) Найдем длины сторон четырехугольника. Для этого нам понадобится формула расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где \(d\) - расстояние между точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\).

1) Длина стороны \(AB\):

\[
d_{AB} = \sqrt{{(2 - 1)^2 + (3 - 1)^2}} = \sqrt{{1 + 4}} = \sqrt{{5}}
\]

2) Длина стороны \(BC\):

\[
d_{BC} = \sqrt{{(0 - 2)^2 + (4 - 3)^2}} = \sqrt{{4 + 1}} = \sqrt{{5}}
\]

3) Длина стороны \(CD\):

\[
d_{CD} = \sqrt{{(-1 - 0)^2 + (2 - 4)^2}} = \sqrt{{1 + 4}} = \sqrt{{5}}
\]

4) Длина стороны \(DA\):

\[
d_{DA} = \sqrt{{(1 - (-1))^2 + (1 - 2)^2}} = \sqrt{{4 + 1}} = \sqrt{{5}}
\]

Итак, длины сторон четырехугольника равны \(\sqrt{{5}}\), \(\sqrt{{5}}\), \(\sqrt{{5}}\) и \(\sqrt{{5}}\).

б) Теперь найдем углы в вершинах четырехугольника.

1) Угол в вершине \(A\). Для этого воспользуемся формулой для нахождения угла между векторами:

\[
\cos{\theta} = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}|}}
\]

где \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) - векторы, заданные координатами точек.

\[
\vec{AB} = \begin{{pmatrix}}
2 - 1 \\
3 - 1
\end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}}
1 \\
2
\end{{pmatrix}}
\]

\[
\vec{AD} = \begin{{pmatrix}}
-1 - 1 \\
2 - 1
\end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}}
-2 \\
1
\end{{pmatrix}}
\]

\[
\cos{\theta} = \frac{{(1 \cdot -2) + (2 \cdot 1)}}{{\sqrt{{5}} \cdot \sqrt{{5}}}} = \frac{{-2 + 2}}{{5}} = \frac{{0}}{{5}} = 0
\]

Учитывая, что \(\cos{\theta} = 0\), мы можем заключить, что угол в вершине \(A\) равен 90 градусам, то есть \(A\) - прямой угол.

2) Угол в вершине \(B\). Аналогично, используем формулу для нахождения угла между векторами:

\[
\cos{\theta} = \frac{{\vec{BC} \cdot \vec{BA}}}{{|\vec{BC}| \cdot |\vec{BA}|}}
\]

\[
\vec{BC} = \begin{{pmatrix}}
0 - 2 \\
4 - 3
\end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}}
-2 \\
1
\end{{pmatrix}}
\]

\[
\vec{BA} = \begin{{pmatrix}}
1 - 2 \\
1 - 3
\end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}}
-1 \\
-2
\end{{pmatrix}}
\]

\[
\cos{\theta} = \frac{{(-2 \cdot -1) + (1 \cdot -2)}}{{\sqrt{{5}} \cdot \sqrt{{5}}}} = \frac{{2 - 2}}{{5}} = \frac{{0}}{{5}} = 0
\]

Учитывая, что \(\cos{\theta} = 0\), мы можем заключить, что угол в вершине \(B\) равен 90 градусам, то есть \(B\) - прямой угол.

3) Угол в вершине \(C\). Используем аналогичную формулу:

\[
\cos{\theta} = \frac{{\vec{CD} \cdot \vec{CB}}}{{|\vec{CD}| \cdot |\vec{CB}|}}
\]

\[
\vec{CD} = \begin{{pmatrix}}
-1 - 0 \\
2 - 4
\end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}}
-1 \\
-2
\end{{pmatrix}}
\]

\[
\vec{CB} = \begin{{pmatrix}}
2 - 0 \\
3 - 4
\end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}}
2 \\
-1
\end{{pmatrix}}
\]

\[
\cos{\theta} = \frac{{(-1 \cdot 2) + (-2 \cdot -1)}}{{\sqrt{{5}} \cdot \sqrt{{5}}}} = \frac{{-2 + 2}}{{5}} = \frac{{0}}{{5}} = 0
\]

Учитывая, что \(\cos{\theta} = 0\), мы можем заключить, что угол в вершине \(C\) равен 90 градусам, то есть \(C\) - прямой угол.

4) Угол в вершине \(D\). Аналогично, используем формулу для нахождения угла между векторами:

\[
\cos{\theta} = \frac{{\vec{DA} \cdot \vec{DC}}}{{|\vec{DA}| \cdot |\vec{DC}|}}
\]

\[
\vec{DA} = \begin{{pmatrix}}
1 - -1 \\
1 - 2
\end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}}
2 \\
-1
\end{{pmatrix}}
\]

\[
\vec{DC} = \begin{{pmatrix}}
0 - -1 \\
4 - 2
\end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}}
1 \\
2
\end{{pmatrix}}
\]

\[
\cos{\theta} = \frac{{(2 \cdot 1) + (-1 \cdot 2)}}{{\sqrt{{5}} \cdot \sqrt{{5}}}} = \frac{{2 - 2}}{{5}} = \frac{{0}}{{5}} = 0
\]

Учитывая, что \(\cos{\theta} = 0\), мы можем заключить, что угол в вершине \(D\) равен 90 градусам, то есть \(D\) - прямой угол.

Итак, четырехугольник с вершинами \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) является прямоугольником, так как все его углы равны 90 градусам.