Четырехугольник задан координатами вершин a (1; 1), b(2; 3), c(0; 4) и d(-1; 2). Определите тип четырехугольника

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

а) Найдем длины сторон четырехугольника. Для этого нам понадобится формула расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула выглядит следующим образом:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

где $d$ - расстояние между точками $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$.

1) Длина стороны $AB$:

$$d_{AB}=\sqrt{(2-1{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$$

2) Длина стороны $BC$:

$$d_{BC}=\sqrt{(0-2{)}^2+(4-3{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$$

3) Длина стороны $CD$:

$$d_{CD}=\sqrt{(-1-0{)}^2+(2-4{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$$

4) Длина стороны $DA$:

$$d_{DA}=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(1-2{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$$

Итак, длины сторон четырехугольника равны $\sqrt{5}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$.

б) Теперь найдем углы в вершинах четырехугольника.

1) Угол в вершине $A$. Для этого воспользуемся формулой для нахождения угла между векторами:

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AD}|}$$

где $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ - векторы, заданные координатами точек.

$$\text{Unknown environment '{pmatrix}'}$$

$$\text{Unknown environment '{pmatrix}'}$$

$$\cos \theta =\frac{(1\cdot -2)+(2\cdot 1)}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{-2+2}{5}=\frac{0}{5}=0$$

Учитывая, что $\cos \theta =0$, мы можем заключить, что угол в вершине $A$ равен 90 градусам, то есть $A$ - прямой угол.

2) Угол в вершине $B$. Аналогично, используем формулу для нахождения угла между векторами:

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BC}|\cdot |\overrightarrow{BA}|}$$

$$\text{Unknown environment '{pmatrix}'}$$

$$\text{Unknown environment '{pmatrix}'}$$

$$\cos \theta =\frac{(-2\cdot -1)+(1\cdot -2)}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{2-2}{5}=\frac{0}{5}=0$$

Учитывая, что $\cos \theta =0$, мы можем заключить, что угол в вершине $B$ равен 90 градусам, то есть $B$ - прямой угол.

3) Угол в вершине $C$. Используем аналогичную формулу:

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CD}|\cdot |\overrightarrow{CB}|}$$

$$\text{Unknown environment '{pmatrix}'}$$

$$\text{Unknown environment '{pmatrix}'}$$

$$\cos \theta =\frac{(-1\cdot 2)+(-2\cdot -1)}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{-2+2}{5}=\frac{0}{5}=0$$

Учитывая, что $\cos \theta =0$, мы можем заключить, что угол в вершине $C$ равен 90 градусам, то есть $C$ - прямой угол.

4) Угол в вершине $D$. Аналогично, используем формулу для нахождения угла между векторами:

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{DA}|\cdot |\overrightarrow{DC}|}$$

$$\text{Unknown environment '{pmatrix}'}$$

$$\text{Unknown environment '{pmatrix}'}$$

$$\cos \theta =\frac{(2\cdot 1)+(-1\cdot 2)}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{2-2}{5}=\frac{0}{5}=0$$

Учитывая, что $\cos \theta =0$, мы можем заключить, что угол в вершине $D$ равен 90 градусам, то есть $D$ - прямой угол.

Итак, четырехугольник с вершинами $A$, $B$, $C$ и $D$ является прямоугольником, так как все его углы равны 90 градусам.