Через сколько времени сила тока в катушке достигнет значения 2, если катушку, имеющую индуктивность 1 Гн, замкнуть

Для решения данной задачи, нам необходимо применять закон изменения тока в индуктивной цепи, известный как закон Эйнштейна-Фарадея.

Закон Фарадея утверждает, что ЭДС индукции \( {\mathcal{E}} \), возникающая в контуре, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока \( \Phi \) через поверхность, ограниченную контуром. Формула закона Фарадея записывается следующим образом:

\[ {\mathcal{E}} = -\frac{{d \Phi}}{{dt}} \]

Где \( t \) - время, \( \Phi \) - магнитный поток, \( {\mathcal{E}} \) - ЭДС индукции.

Для индуктивной цепи, магнитный поток \( \Phi \) связан с током \( I \) и индуктивностью \( L \) следующим образом:

\[ \Phi = L \cdot I \]

Объединяя эти две формулы, получаем:

\[ {\mathcal{E}} = -\frac{{d \Phi}}{{dt}} = -L \cdot \frac{{dI}}{{dt}} \]

Зная, что сила тока является производной заряда по времени, \( I = \frac{{dq}}{{dt}} \), можем переписать формулу:

\[ {\mathcal{E}} = -L \cdot \frac{{dI}}{{dt}} = -L \cdot \frac{{d^2q}}{{dt^2}} \]

В данной задаче, сила тока в катушке достигнет значения 2. Предположим, что в начальный момент времени \( t = 0 \), сила тока была равна 0, то есть \( I(0) = 0 \).

Теперь мы можем записать дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее изменение силы тока:

\[ -L \cdot \frac{{d^2I}}{{dt^2}} = {\mathcal{E}} \]

Подставим значение индуктивности \( L = 1 \) Гн и ЭДС источника \( {\mathcal{E}} \) в уравнение:

\[ -\frac{{d^2I}}{{dt^2}} = 2 \]

Решив данное дифференциальное уравнение второго порядка, мы найдем зависимость силы тока \( I \) от времени \( t \).

\[ I(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi) \]

Где \( A \) и \( \phi \) являются постоянными, а \( \omega \) - угловая частота, определенная как \( \omega = \sqrt{\frac{1}{L}} \).

Теперь, используя начальные условия, \( t = 0 \) и \( I(0) = 0 \), мы можем найти постоянные \( A \) и \( \phi \).

\[ I(0) = A \cdot \cos(\phi) = 0 \Rightarrow \cos(\phi) = 0 \Rightarrow \phi = \frac{\pi}{2} \]

\[ I(t) = A \cdot \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) \]

Подставим \( I(t) = 2 \) и решим уравнение относительно времени:

\[ 2 = A \cdot \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) \Rightarrow \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) = \frac{2}{A} \]

Так как мы не имеем дополнительной информации о постоянной \( A \), мы не можем найти конкретные значения для \( t \) из этого уравнения.

Однако, если мы исключим начальные условия и зафиксируем \( A = 2 \), мы можем найти период колебаний и использовать его для определения времени, через которое сила тока достигнет значения 2.

Угловая частота \( \omega \) определяется как \( \omega = \sqrt{\frac{1}{L}} = \sqrt{\frac{1}{1}} = 1 \).

Период колебаний \( T \) определяется как \( T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \).

Теперь мы можем записать уравнение силы тока:

\[ I(t) = 2 \cdot \cos(t + \frac{\pi}{2}) \]

Чтобы найти время, когда сила тока достигнет значения 2, мы должны найти значение \( t \), при котором аргумент косинуса равен 0:

\[ t + \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow t = -\frac{\pi}{2} \]

Исключив отрицательные значения времени, мы можем заключить, что сила тока в катушке достигнет значения 2 через время \( t = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \) единиц времени.