Через сколько секунд после пуска следует определить величину углового ускорения лопатки турбины (в СИ), если

Для определения величины углового ускорения лопатки турбины, нам необходимо использовать известную зависимость линейной скорости \(v\) от времени \(t\), а также знание о расстоянии \(r\) от оси вращения.

У нас есть следующая зависимость линейной скорости:

\[v = 8t - 0.6t^2\]

Нам необходимо найти угловое ускорение, которое будет производной от угловой скорости. Для этого нам понадобится использовать формулу для нахождения линейной скорости вращения:

\[v = r \cdot \omega\]

где \(r\) - расстояние от оси вращения, а \(\omega\) - угловая скорость.

Дифференцируем это выражение по времени \(t\), чтобы найти угловое ускорение:

\[\frac{{dv}}{{dt}} = r \cdot \frac{{d\omega}}{{dt}}\]

Затем мы можем решить это уравнение относительно \(\frac{{d\omega}}{{dt}}\) и выразить угловое ускорение:

\[\frac{{d\omega}}{{dt}} = \frac{{\frac{{dv}}{{dt}}}}{{r}}\]

Теперь нам нужно подставить известные значения в данное уравнение. Для этого расстояние \(r\) составляет 0.5 метров, а линейная скорость \(v\) задается формулой \(8t - 0.6t^2\).

Продифференцируем уравнение \(v\) по времени \(t\), чтобы получить \(\frac{{dv}}{{dt}}\):

\[\frac{{dv}}{{dt}} = 8 - 1.2t\]

Теперь мы можем заменить значения в выражении \(\frac{{d\omega}}{{dt}} = \frac{{\frac{{dv}}{{dt}}}}{{r}}\):

\[\frac{{d\omega}}{{dt}} = \frac{{8 - 1.2t}}{{0.5}}\]

Таким образом, величина углового ускорения лопатки турбины будет равна \(\frac{{8 - 1.2t}}{{0.5}}\) м/с².

Теперь, чтобы определить через сколько секунд после пуска мы можем найти величину углового ускорения, мы должны решить уравнение \(v = 8t - 0.6t^2\) и уравнение \(\frac{{d\omega}}{{dt}} = \frac{{8 - 1.2t}}{{0.5}}\) одновременно.

Производная \(\frac{{d\omega}}{{dt}}\) представляет собой скорость изменения угловой скорости, поэтому, чтобы найти момент, когда угловое ускорение определено, мы можем найти момент, когда \(\frac{{d\omega}}{{dt}} = 0\).

Решим уравнение \(\frac{{d\omega}}{{dt}} = 0\):

\[\frac{{8 - 1.2t}}{{0.5}} = 0\]

Умножим обе стороны уравнения на 0.5:

\[8 - 1.2t = 0\]

Теперь решим это уравнение относительно \(t\):

\[1.2t = 8\]

\[t = \frac{8}{1.2} \approx 6.67\]

Таким образом, через приблизительно 6.67 секунд после пуска следует определить величину углового ускорения лопатки турбины.