Через середину высоты полушара проводится сечение, параллельное его основанию. Каков объем полного шарового пояса?

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать некоторые основные понятия из геометрии. Давайте рассмотрим задачу пошагово.

1. Перед нами задача о нахождении объема полного шарового пояса. Полный шаровой пояс - это объем, ограниченный двумя сферами разного радиуса.

2. По условию, сечение проводится через середину высоты полушара и параллельно его основанию. Это означает, что у нас есть два полушара одинакового радиуса и одно сечение параллельно их основанию.

3. Обозначим радиус полушара как \(r\). В таком случае, радиус сферы, ограничивающей верхнюю границу шарового пояса, будет равен \(r\), а радиус сферы, ограничивающей нижнюю границу шарового пояса, будет равен \(\frac{r}{2}\) (так как сечение проходит через середину высоты полушара).

4. Теперь, чтобы найти объем полного шарового пояса, мы можем вычислить разницу объемов двух сфер - верхней и нижней.

5. Объем сферы можно найти по формуле: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\).

6. Объем верхней сферы будет: \(V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3\).

7. Объем нижней сферы будет: \(V_2 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^3\).

8. Теперь мы можем вычислить разность объемов двух сфер: \(V = V_1 - V_2 = \frac{4}{3} \pi r^3 - \frac{4}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^3\).

9. Вынесем общий множитель \(\frac{4}{3} \pi\) за скобки и приведем выражение к более компактному виду: \(V = \frac{4\pi}{3} (r^3 - \frac{r^3}{8})\).

10. Находим общий знаменатель: \(V = \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{7r^3}{8}\).

11. Сокращаем \(\frac{4}{8}\) до \(\frac{1}{2}\): \(V = \frac{7\pi}{6} r^3\).

Таким образом, объем полного шарового пояса равен \(\frac{7\pi}{6} r^3\). Ответ можно записать в виде \(\frac{3V}{r} = \frac{7\pi}{2} r^2\).