Через середину боковой стороны АВ трапеции ABCD проведена прямая, которая

Question

Другие предметы: Через середину боковой стороны АВ трапеции ABCD проведена прямая, которая проходит через точку Е, параллельна стороне CD и пересекает основание

Булька · Accepted Answer

через точку F. Нужно доказать, что EF делит диагональ BD пополам.

Решение:

1) Пусть точка M - середина основания CD. Также, обозначим точку G - точку пересечения прямых EF и AB.

2) Так как прямая EF параллельна стороне CD, то по свойству параллельных прямых их соответствующие углы равны. Значит, угол АВF равен углу EFG (вертикальные углы).

3) Очевидно, что угол ВАЕ равен углу ЕFG (в треугольнике ЕFG угол между параллельными прямыми равен углу при основании).

4) Из пунктов 2 и 3 следует, что треугольники АВF и ЕFG равны по двум углам и стороне. Значит, они подобны.

5) Поскольку треугольники АВF и ЕFG подобны, то их стороны пропорциональны. То есть, \(\frac{AF}{EF} = \frac{AB}{FG}\) (отношение сторон в подобных треугольниках равно отношению соответствующих сторон).

6) Очевидно, что \(\frac{AF}{AB} = \frac{1}{2}\) (так как точка F делит сторону AB пополам).

7) Из пунктов 5 и 6 получаем \(\frac{1}{2} = \frac{EF}{FG}\), что означает, что пополам делит отрезок FG.

8) Так как точка G является точкой пересечения EF и AB, а точка M - середина диагонали BD, то можно сделать вывод, что EF делит диагональ BD пополам.

Таким образом, мы доказали, что EF действительно делит диагональ BD трапеции ABCD пополам.

Через середину боковой стороны АВ трапеции ABCD проведена прямая, которая проходит через точку Е, параллельна стороне

Булька

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!