Через конец радиуса, лежащий на сфере с радиусом 4 см, проведена плоскость под углом 30 градусов. Какова площадь

Для решения данной задачи, давайте сначала разберемся с геометрическими свойствами сферы и плоскости.

Заметим, что плоскость, проходящая через центр сферы, разделит ее на две равные части и их площади будут совпадать. Также, вы можете заметить, что сечение шара плоскостью, которая не проходит через его центр, будет являться окружностью.

Для определения площади этого сечения шара, нам необходимо узнать радиус этой окружности. Для этого воспользуемся свойствами геометрии.

Посмотрим на треугольник, образованный радиусом, проведенным к точке пересечения плоскости с радиусом сферы. Данный треугольник является прямоугольным треугольником, поскольку плоскость проходит под углом 30 градусов, а радиус сферы является радиусом окружности, а значит, он будет перпендикулярен к этой плоскости.

Определим длину катета, соединяющего центр сферы и точку пересечения радиуса со сферой. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha\]

где \(a\) - длина стороны, противолежащей углу \(\alpha\),
\(b\) и \(c\) - длины других двух сторон треугольника.

В нашем случае, \(b = c = 4 \, \text{см}\) (так как радиус сферы равен 4 см), а \(\alpha = 30^\circ\).

Подставляя значения в формулу, получим:

\[a^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ\]

\[a^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[a^2 = 32 - 16\sqrt{3}\]

\[a^2 = 16(2 - \sqrt{3})\]

\[a = \sqrt{16(2 - \sqrt{3})}\]

Теперь, имея длину катета, мы можем определить радиус окружности, которая образует сечение шара. В данном случае радиусом этой окружности будет являться длина отрезка, соединяющего центр сферы и точку пересечения плоскости со сферой.

Так как плоскость, проходящая через конец радиуса, лежит на сфере радиусом 4 см, то радиус окружности, образующей сечение шара, также равен 4 см.

Итак, площадь сечения шара будет равна площади окружности с радиусом 4 см.

Формула для площади окружности:

\[S = \pi r^2\]

Подставляя значения, получим:

\[S = \pi \cdot (4 \, \text{см})^2\]

\[S = \pi \cdot 16 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь сечения шара равна \(16\pi\) квадратных сантиметров.