Через какое время произойдет уменьшение энергии колебаний математического маятника в 9,4 раза, если логарифмический

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся формулы, связанные с колебаниями математического маятника. Давайте начнем с формулы для логарифмического декремента затухания:

\[\lambda = \frac{2\pi}{T}\sqrt{1-\left(\frac{B}{A}\right)^2}\]

Где:
\(\lambda\) - логарифмический декремент затухания,
\(T\) - период колебаний маятника,
\(B\) - экспериментально определенное значение затухания на каждом колебании маятника,
\(A\) - амплитуда первого колебания маятника.

Из данной формулы можно выразить период \(T\) колебаний маятника:

\[T = \frac{2\pi}{\sqrt{1-\left(\frac{B}{A}\right)^2}}\]

Теперь воспользуемся еще одной формулой, которая связывает период \(T\) колебаний маятника с его длиной \(L\):

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

Где:
\(L\) - длина маятника,
\(g\) - ускорение свободного падения.

Теперь, зная формулы, приступим к решению.

Начнем с поиска значения \(B/A\). Из задачи дано, что логарифмический декремент затухания составляет \(\lambda = 0,01\). Подставим это значение в формулу для \(\lambda\):

\[0,01 = \frac{2\pi}{T}\sqrt{1-\left(\frac{B}{A}\right)^2}\]

Далее, выразим \(\frac{B}{A}\):

\[\sqrt{1-\left(\frac{B}{A}\right)^2} = \frac{0,01T}{2\pi}\]

\[1 - \left(\frac{B}{A}\right)^2 = \left(\frac{0,01T}{2\pi}\right)^2\]

\[\left(\frac{B}{A}\right)^2 = 1 - \left(\frac{0,01T}{2\pi}\right)^2\]

\[\frac{B}{A} = \sqrt{1 - \left(\frac{0,01T}{2\pi}\right)^2}\]

Далее, подставим значение длины маятника \(L = 24,7\) в формулу для периода \(T\) колебаний маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{24,7}{g}}\]

Теперь можем выразить \(T\) через \(g\):

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{24,7}{g}}\]

Подставим полученное значение \(T\) в формулу для \(\frac{B}{A}\):

\[\frac{B}{A} = \sqrt{1 - \left(\frac{0,01 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{24,7}{g}}}{2\pi}\right)^2}\]

\[\frac{B}{A} = \sqrt{1 - \left(\frac{0,01}{\sqrt{\frac{g}{24,7}}}\right)^2}\]

Теперь у нас есть значение \(\frac{B}{A}\). Задача состоит в том, чтобы найти время, через которое произойдет уменьшение энергии колебаний маятника в 9,4 раза. Предположим, что уменьшение энергии соответствует уменьшению амплитуды колебаний в 9,4 раза. Поскольку амплитуда связана с \(\frac{B}{A}\) следующим образом:

\(\text{амплитуда} = Ae^{-\lambda t} = A\left(\frac{B}{A}\right)^{nt}\),

где \(n\) - число колебаний,

то у нас есть:

\(9,4 = \left(\frac{B}{A}\right)^{nt}\).

Теперь можно выразить \(t\):

\(nt = \log_{\frac{B}{A}}9,4\).

\(t = \frac{\log_{\frac{B}{A}}9,4}{n}\).

Таким образом, чтобы найти время, через которое произойдет уменьшение энергии колебаний математического маятника в 9,4 раза, нам необходимо знать количество колебаний \(n\) для заданного периода \(T\) и ускорения свободного падения \(g\), а также экспериментальное значение затухания на каждом колебании маятника \(B\).