Через какое время произойдет уменьшение энергии колебаний математического маятника в 9,4 раза, если логарифмический

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся формулы, связанные с колебаниями математического маятника. Давайте начнем с формулы для логарифмического декремента затухания:

$$\lambda =\frac{2\pi }{T}\sqrt{1-{\left(\frac{B}{A}\right)}^2}$$

Где:
$\lambda$ - логарифмический декремент затухания,
$T$ - период колебаний маятника,
$B$ - экспериментально определенное значение затухания на каждом колебании маятника,
$A$ - амплитуда первого колебания маятника.

Из данной формулы можно выразить период $T$ колебаний маятника:

$$T=\frac{2\pi }{\sqrt{1-{\left(\frac{B}{A}\right)}^2}}$$

Теперь воспользуемся еще одной формулой, которая связывает период $T$ колебаний маятника с его длиной $L$:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

Где:
$L$ - длина маятника,
$g$ - ускорение свободного падения.

Теперь, зная формулы, приступим к решению.

Начнем с поиска значения $B/A$. Из задачи дано, что логарифмический декремент затухания составляет $\lambda =0,01$. Подставим это значение в формулу для $\lambda$:

$$0,01=\frac{2\pi }{T}\sqrt{1-{\left(\frac{B}{A}\right)}^2}$$

Далее, выразим $\frac{B}{A}$:

$$\sqrt{1-{\left(\frac{B}{A}\right)}^2}=\frac{0,01T}{2\pi }$$

$$1-{\left(\frac{B}{A}\right)}^2={\left(\frac{0,01T}{2\pi }\right)}^2$$

$${\left(\frac{B}{A}\right)}^2=1-{\left(\frac{0,01T}{2\pi }\right)}^2$$

$$\frac{B}{A}=\sqrt{1-{\left(\frac{0,01T}{2\pi }\right)}^2}$$

Далее, подставим значение длины маятника $L=24,7$ в формулу для периода $T$ колебаний маятника:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

$$T=2\pi \sqrt{\frac{24,7}{g}}$$

Теперь можем выразить $T$ через $g$:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{24,7}{g}}$$

Подставим полученное значение $T$ в формулу для $\frac{B}{A}$:

$$\frac{B}{A}=\sqrt{1-{\left(\frac{0,01\cdot 2\pi \sqrt{\frac{24,7}{g}}}{2\pi }\right)}^2}$$

$$\frac{B}{A}=\sqrt{1-{\left(\frac{0,01}{\sqrt{\frac{g}{24,7}}}\right)}^2}$$

Теперь у нас есть значение $\frac{B}{A}$. Задача состоит в том, чтобы найти время, через которое произойдет уменьшение энергии колебаний маятника в 9,4 раза. Предположим, что уменьшение энергии соответствует уменьшению амплитуды колебаний в 9,4 раза. Поскольку амплитуда связана с $\frac{B}{A}$ следующим образом:

$\text{амплитуда}=A{e}^{-\lambda t}=A{\left(\frac{B}{A}\right)}^{nt}$,

где $n$ - число колебаний,

то у нас есть:

$9,4={\left(\frac{B}{A}\right)}^{nt}$.

Теперь можно выразить $t$:

$nt={\log }_{\frac{B}{A}}9,4$.

$t=\frac{{\log }_{\frac{B}{A}}9,4}{n}$.

Таким образом, чтобы найти время, через которое произойдет уменьшение энергии колебаний математического маятника в 9,4 раза, нам необходимо знать количество колебаний $n$ для заданного периода $T$ и ускорения свободного падения $g$, а также экспериментальное значение затухания на каждом колебании маятника $B$.