Чёму равны третья сторона и остальные углы этого треугольника, если две стороны равны 12см и 5√32, а угол

Чтобы найти третью сторону и остальные углы треугольника, воспользуемся теоремой косинусов. Дано, что две стороны треугольника равны 12 см и \(5\sqrt{32}\), а угол противолежащий большей из них равен 135 градусам.

Теорема косинусов позволяет нам найти третью сторону треугольника, если известны длины двух сторон и между ними расположен угол. Формула для этого выглядит следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где \(a\) и \(b\) - длины известных сторон, \(c\) - длина третьей стороны и \(C\) - угол между этими сторонами.

В нашем случае, пусть \(a = 12\) см и \(b = 5\sqrt{32}\) см, а \(C = 135\) градусов. Подставив значения в формулу, получим:

\[c^2 = 12^2 + (5\sqrt{32})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 5\sqrt{32} \cdot \cos(135^\circ)\]

Упростим выражение:

\[c^2 = 144 + 800 - 120\sqrt{32}\cos(135^\circ)\]

Теперь вычислим значение \(\cos(135^\circ)\). Угол \(135^\circ\) лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен. Поскольку \(\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), мы можем использовать тригонометрическое тождество \(\cos(180^\circ - x) = -\cos(x)\) для перевода \(135^\circ\) в \(45^\circ\). Таким образом,

\[\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\]

Подставив это значение в выражение, получим:

\[c^2 = 144 + 800 - 120\sqrt{32} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

Далее делаем числовые вычисления:

\[c^2 = 944 + 60\sqrt{32}\]

Мы нашли значение \(c^2\), но чтобы найти \(c\), нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[c = \sqrt{944 + 60\sqrt{32}}\]

Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{944 + 60\sqrt{32}}\) см.

Осталось найти остальные углы треугольника. Мы знаем, что сумма всех углов треугольника равна \(180^\circ\). Известен угол \(C\), равный \(135^\circ\). Чтобы найти остальные углы, нам нужно вычесть \(135^\circ\) из \(180^\circ\):

\[\text{Угол 1} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\]

Это будет первый остальной угол треугольника. Оставшийся угол можно найти, вычтя сумму двух уже известных углов из \(180^\circ\):

\[\text{Угол 2} = 180^\circ - \text{Угол 1} - C\]

\[\text{Угол 2} = 180^\circ - 45^\circ - 135^\circ\]

Проведя вычисления, получим:

\[\text{Угол 2} = 0^\circ\]

Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{944 + 60\sqrt{32}}\) см, а остальные два угла равны \(45^\circ\) и \(0^\circ\).