Чему равны объем и площадь боковой поверхности усеченного конуса с длиной образующей 17 см, площадью основного сечения

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулы, связанные с усеченным конусом. Давайте начнем с определения объема и площади боковой поверхности.

Объем усеченного конуса можно рассчитать по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\]

где \(V\) обозначает объем, \(\pi\) - математическая константа, \(h\) - высота усеченного конуса, \(r_1\) - радиус большей основы и \(r_2\) - радиус меньшей основы.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

\[S = \pi(r_1 + r_2) l\]

где \(S\) обозначает площадь боковой поверхности, \(l\) - длина образующей конуса.

Учитывая данные, давайте рассмотрим пошаговое решение.

1. Определяем высоту усеченного конуса. Для этого воспользуемся формулой площади основного сечения:

\[S_1 = \pi r_1^2\]

В нашем случае \(S_1 = 420 \, \text{см}^2\). Решим уравнение относительно \(r_1\):

\[\pi r_1^2 = 420\]

\[r_1^2 = \frac{420}{\pi}\]

\[r_1 = \sqrt{\frac{420}{\pi}}\]

2. Аналогично, определяем радиус меньшей основы \(r_2\) с использованием площади среднего сечения:

\[S_2 = \pi r_2^2\]

В нашем случае \(S_2 = 196\pi \, \text{см}^2\). Решим уравнение относительно \(r_2\):

\[\pi r_2^2 = 196\pi\]

\[r_2^2 = 196\]

\[r_2 = \sqrt{196}\]

3. Теперь, когда у нас есть значения \(r_1\), \(r_2\) и длины образующей конуса \(l = 17 \, \text{см}\), мы можем рассчитать объем и площадь боковой поверхности.

Для объема:

\[V = \frac{1}{3} \pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\]

\[V = \frac{1}{3} \pi l(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\]

Подставим значения и рассчитаем объем.

Для площади боковой поверхности:

\[S = \pi(r_1 + r_2) l\]

Подставим значения и рассчитаем площадь боковой поверхности.

Таким образом, после выполнения всех вычислений, мы найдем значения объема и площади боковой поверхности заданного усеченного конуса.