Чему равно значение выражения cos3y * cos4y + sin3y * sin4y - 4, при условии, что cos y

Давайте разберемся с этой задачей по шагам.

Первым шагом, нам дано условие, что \(\cos y = -\frac{1}{2}\). Мы можем использовать это условие, чтобы найти значения \(\sin y\) и \(\cos 2y\).

Мы знаем, что \(\sin^2 y + \cos^2 y = 1\). Подставляя значение \(\cos y\), получаем:
\(\sin^2 y + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1\).

Выражая \(\sin^2 y\), получаем:
\(\sin^2 y + \frac{1}{4} = 1\).

Вычитаем \(\frac{1}{4}\) с обеих сторон уравнения:
\(\sin^2 y = \frac{3}{4}\).

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
\(\sin y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Также, у нас есть формула \(\cos 2y = 2\cos^2 y - 1\). Подставляя значение \(\cos y\), получаем:
\(\cos 2y = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 1\).

Упрощая выражение, получаем:
\(\cos 2y = \frac{1}{2} - 1\).

\(\cos 2y = -\frac{1}{2}\).

Таким образом, мы нашли значения \(\sin y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos 2y = -\frac{1}{2}\).

Теперь мы можем вернуться к исходному выражению:
\(\cos 3y \cdot \cos 4y + \sin 3y \cdot \sin 4y - 4\).

Мы можем использовать формулу для разности косинусов:
\(\cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B = \cos(A - B)\).

Поэтому, наше выражение можно упростить следующим образом:
\(\cos (3y - 4y) - 4\).

Упрощая внутри скобок, получаем:
\(\cos (-y) - 4\).

Мы знаем, что \(\cos (-y) = \cos y\), поэтому выражение упрощается до:
\(\cos y - 4\).

Теперь, подставляя значение \(\cos y = -\frac{1}{2}\), получаем:
\(-\frac{1}{2} - 4\).

Вычисляя это выражение, получаем:
\(-\frac{9}{2}\).

Таким образом, значение выражения \(\cos 3y \cdot \cos 4y + \sin 3y \cdot \sin 4y - 4\) при условии \(\cos y = -\frac{1}{2}\) равно \(-\frac{9}{2}\).