Чему равно расстояние между точками M и N в треугольнике ABC, если сторона AC равна 4.2 см, а проведены медианы

Для начала, нам необходимо понять, что такое медианы в треугольнике. Медианы - это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон.

Итак, у нас имеется треугольник ABC со стороной AC, равной 4.2 см. Проведем медиану CM, которая соединяет вершину C с серединой стороны AB, обозначим её точкой M. Также проведем медиану AN, соединяющую вершину A с серединой стороны BC, обозначим её точкой N.

Так как медианы делят другие медианы пополам, то точка M является серединой медианы AN, и точка N является серединой медианы CM.

Давайте найдем длину медианы CM. Поскольку M - середина стороны AB, то AM = \(\frac{AB}{2}\). Так как AB - это длина стороны BC, то AM = \(\frac{BC}{2}\). Также, поскольку CM - медиана, она делит сторону AB пополам, следовательно CM = \(\frac{AB}{2}\).

Теперь рассмотрим треугольник ACM. Мы знаем, что AC = 4.2 см, а CM = \(\frac{AB}{2}\). Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка AM.

\[AM^2 = AC^2 - CM^2\]
\[AM^2 = 4.2^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2\]
\[AM^2 = 17.64 - \frac{AB^2}{4}\]

Аналогично, если мы применим теорему Пифагора к треугольнику ANC, мы получим:

\[AN^2 = AC^2 - CN^2\]
\[AN^2 = 4.2^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2\]
\[AN^2 = 17.64 - \frac{AB^2}{4}\]

Теперь у нас есть выражения для квадратов длин отрезков AM и AN. Так как точка M - середина медианы AN, а точка N - середина медианы CM, то медианы CM и AN делят друг друга пополам. Следовательно, AM = \(\frac{AN}{2}\) и AN = \(\frac{AM}{2}\).

Подставим значения AM и AN в наши уравнения:

\[\left(\frac{AN}{2}\right)^2 = 17.64 - \frac{AB^2}{4}\]
\[\frac{AN^2}{4} = 17.64 - \frac{AB^2}{4}\]
\[AN^2 = 70.56 - AB^2\]

\[\left(\frac{AM}{2}\right)^2 = 17.64 - \frac{AB^2}{4}\]
\[\frac{AM^2}{4} = 17.64 - \frac{AB^2}{4}\]
\[AM^2 = 70.56 - AB^2\]

Мы видим, что и \(AM^2\) и \(AN^2\) равны выражению \(70.56 - AB^2\), значит, они равны друг другу:

\[70.56 - AB^2 = 70.56 - AB^2\]

Отсюда следует, что для любого значения AB длина отрезков CM и AN равна. Итак, расстояние между точками M и N в треугольнике ABC равно \(\frac{AN}{2}\) или \(\frac{CM}{2}\).

Таким образом, ответ на задачу - расстояние между точками M и N равно половине длины медианы CM (или половине длины медианы AN). Ответ нужно записать в виде десятичной дроби, однако, без конкретных значений стороны AB невозможно дать конкретный ответ. Это зависит от длины стороны AB, которая не дана в условии задачи.