Чему равна сумма квадратов всех высот треугольника, если известны два его угла α=π/3 и β=π/4 и площадь S=3?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать связь между площадью треугольника и его высотами. Выразим площадь S через высоты треугольника.

Площадь треугольника S можно выразить как половину произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между этими сторонами:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\]

В данной задаче у нас есть площадь S=3, поэтому мы можем записать:

\[3 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\]

Также известно, что угол α = π/3 и угол β = π/4. Мы можем использовать формулу синуса для нахождения синуса угла γ:

\[\sin(\gamma) = \sin(\pi - \alpha - \beta)\]

Раскроем синус разности:

\[\sin(\gamma) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})\]

\[\sin(\gamma) = \sin(\frac{7\pi}{12})\]

Теперь, зная значение синуса угла γ, можно решить задачу. Выразим высоты треугольника через стороны и синус угла γ следующим образом:

\[h_a = \frac{2S}{a \cdot \sin(\gamma)}\]
\[h_b = \frac{2S}{b \cdot \sin(\gamma)}\]
\[h_c = \frac{2S}{c \cdot \sin(\gamma)}\]

Заметим, что a, b и c - это стороны треугольника. Так как треугольник не равнобедренный и не равносторонний, то a, b и c - разные длины.

Теперь найдем квадраты высот треугольника:

\[h_a^2 = \left(\frac{2S}{a \cdot \sin(\gamma)}\right)^2\]
\[h_b^2 = \left(\frac{2S}{b \cdot \sin(\gamma)}\right)^2\]
\[h_c^2 = \left(\frac{2S}{c \cdot \sin(\gamma)}\right)^2\]

Для итогового ответа нужно просуммировать все квадраты высот треугольника:

\[h_a^2 + h_b^2 + h_c^2 = \left(\frac{2S}{a \cdot \sin(\gamma)}\right)^2 + \left(\frac{2S}{b \cdot \sin(\gamma)}\right)^2 + \left(\frac{2S}{c \cdot \sin(\gamma)}\right)^2\]

Подставим известные значения:

\[h_a^2 + h_b^2 + h_c^2 = \left(\frac{2 \cdot 3}{a \cdot \sin(\frac{7\pi}{12})}\right)^2 + \left(\frac{2 \cdot 3}{b \cdot \sin(\frac{7\pi}{12})}\right)^2 + \left(\frac{2 \cdot 3}{c \cdot \sin(\frac{7\pi}{12})}\right)^2\]

Теперь осталось только вычислить эту сумму и получить округленный до ближайшего целого ответ.