Чему равна производная функции f(x)=2x*sin(x)-1 в точке x0, где x0 = п/4?

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам. Для начала, нам понадобится использовать правило дифференцирования для произведения функций и правило дифференцирования для синуса.

1. Правило дифференцирования для произведения функций: Если у нас есть две функции u(x) и v(x), то производная их произведения равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первую функцию, умноженную на производную второй функции. То есть, \((u(x) \cdot v(x))" = u"(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v"(x)\).

2. Правило дифференцирования для синуса: Производная функции синуса равна косинусу этой функции. Другими словами, \((\sin(x))" = \cos(x)\).

Теперь мы готовы вычислить производную функции \(f(x) = 2x \cdot \sin(x) - 1\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\).

Шаг 1: Найдем производную первого слагаемого \(2x \cdot \sin(x)\). Для этого применим правило дифференцирования для произведения функций.

\(u(x) = 2x\), \(v(x) = \sin(x)\)

\(u"(x) = 2\), \(v"(x) = \cos(x)\)

Применяя правило произведения, получаем:

\((2x \cdot \sin(x))" = (2)" \cdot \sin(x) + 2x \cdot (\sin(x))"\)

\((2x \cdot \sin(x))" = 2 \cdot \sin(x) + 2x \cdot \cos(x)\)

Шаг 2: Теперь наша функция \(f(x) = 2x \cdot \sin(x) - 1\) становится:

\(f"(x) = 2 \cdot \sin(x) + 2x \cdot \cos(x) - 0\)

\(f"(x) = 2 \cdot \sin(x) + 2x \cdot \cos(x)\)

Шаг 3: Найдем значение производной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\), подставляя \(x_0\) в \(f"(x)\).

\(f"(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) + 2(\frac{\pi}{4}) \cdot \cos(\frac{\pi}{4})\)

\(f"(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(f"(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} + \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(f"(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} + \frac{\pi \sqrt{2}}{4}\) (это окончательный ответ)

Таким образом, производная функции \(f(x) = 2x \cdot \sin(x) - 1\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) равна \(\sqrt{2} + \frac{\pi \sqrt{2}}{4}\).