Чему равна площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы с прямоугольным треугольником в основании, где один

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы.

Начнем с определения площади боковой поверхности прямой треугольной призмы. Боковая поверхность призмы представляет собой сумму площадей боковых граней, то есть трех прямоугольных треугольников.

Из условия задачи известно, что один катет прямоугольного треугольника в основании равен 5, а гипотенуза равна 13. Также, нам нужно найти высоту призмы.

Для начала, найдем другой катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора. Известно, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

где \(a\) и \(b\) - катеты, \(c\) - гипотенуза.

Подставив в уравнение известные значения, получим:

\[5^2 + b^2 = 13^2\]

\[25 + b^2 = 169\]

\[b^2 = 144\]

\[b = 12\]

Теперь, чтобы найти площадь одного бокового треугольника, нужно расчитать половину произведения катетов:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Подставив известные значения, получим:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\]

Таким образом, площадь одного бокового треугольника равна 30.

Наконец, чтобы найти площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы, нужно умножить площадь одного бокового треугольника на количество таких треугольников, то есть 3:

\[S_{\text{боковой поверхности}} = 3 \cdot S_{\text{треугольника}} = 3 \cdot 30 = 90\]

Итак, площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы равна 90.

Теперь осталось только найти высоту призмы. Поскольку боковая поверхность призмы представляет собой сумму площадей трех треугольников, а площадь треугольника равна половине произведения катета и высоты, можно использовать формулу:

\[S_{\text{боковой поверхности}} = 3 \cdot a \cdot h\]

где \(a\) - длина основания треугольника, а \(h\) - высота треугольника.

Подставив известные значения площади боковой поверхности и длины основания треугольника, получим:

\[90 = 3 \cdot 5 \cdot h\]

Разделив обе части уравнения на 15, найдем высоту призмы:

\[h = \frac{90}{15} = 6\]

Итак, высота призмы равна 6.