Чему равна энтропия, если из урны, содержащей два белых и один черный шар, извлекаются два шара?

Энтропия является мерой неопределенности или беспорядка в системе. Чтобы определить энтропию для данной задачи, мы можем использовать формулу Шеннона:

\[H(X) = -\sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log_2 P(x_i)\]

где \(H(X)\) - энтропия для случайной переменной \(X\), \(P(x_i)\) - вероятность появления события \(x_i\), а сумма берется по всем возможным событиям.

В данной задаче у нас три возможных события: извлечение двух белых шаров, извлечение белого и черного шара, и извлечение двух черных шаров. Давайте рассчитаем энтропию шаг за шагом.

1. Вероятность извлечения двух белых шаров:
В урне имеются два белых и один черный шар, поэтому вероятность извлечения первого белого шара равна 2/3. После извлечения первого белого шара, в урне остается один белый и один черный шар, поэтому вероятность извлечения второго белого шара равна 1/2. Мы получаем следующее выражение:
\(P(\text{два белых шара}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)

2. Вероятность извлечения белого и черного шара:
Вероятность извлечения первого белого шара равна 2/3, а вероятность извлечения второго черного шара равна 1/3. Мы получаем следующее выражение:
\(P(\text{белый и черный шар}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}\)

3. Вероятность извлечения двух черных шаров:
Вероятность извлечения первого черного шара равна 1/3. После извлечения первого черного шара, в урне остаются два белых шара, поэтому вероятность извлечения второго черного шара равна 0. Мы получаем следующее выражение:
\(P(\text{два черных шара}) = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0\)

Теперь рассчитаем энтропию с использованием найденных вероятностей:

\[H(X) = -\sum_{i=1}^{3} P(\text{событие } x_i) \log_2 P(\text{событие } x_i)\]

\[H(X) = -( \frac{1}{3} \log_2 \frac{1}{3} + \frac{2}{9} \log_2 \frac{2}{9} + 0 \cdot \log_2 0)\]

После выполнения всех вычислений, мы получаем следующий ответ:

\[H(X) \approx 0.9183\]

Итак, энтропия для данной задачи равна примерно 0.9183.