Чему равна длина меньшей стороны прямоугольного треугольника ABC, если высота B = 26 и отношение АН к HC равно 4:9?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать свойства прямоугольного треугольника и отношение между его сторонами.

Мы знаем, что высота B треугольника ABC равна 26. Пусть сторона AB – меньшая сторона треугольника, а сторона BC – большая сторона.

Также, по условию задачи, известно, что отношение АН к HC равно 4:9.

Давайте приступим к решению:

1. Определим отношение между сторонами прямоугольного треугольника ABC, используя свойство подобия треугольников.

По теореме подобия треугольников, отношение длин соответствующих сторон двух подобных треугольников равно.

Так как треугольники ABN и CBH подобны (по двум некоторым углам треугольника), отношение их сторон равно:

\(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{AN}}{{CH}} = \frac{4}{9}\)

2. Из вышесказанного следует, что:

\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{4}}{{9}}\)

Мы знаем, что \(AB^2 + BC^2 = AC^2\) (по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника).

Так как нас интересует меньшая сторона треугольника, возьмем \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{4}}{{9}}\) и заменим в формуле:

\((\frac{{4}}{{9}}BC)^2 + BC^2 = AC^2\)

\(\frac{{16}}{{81}}BC^2 + BC^2 = AC^2\)

\(\frac{{97}}{{81}}BC^2 = AC^2\)

3. Определим длину высоты CH, используя подобие треугольников:

\(\frac{{CH}}{{AB}} = \frac{{HC}}{{AN}}\)

Вставим значения: \(\frac{{HC}}{{AN}} = \frac{{9}}{{4}}\).

Получим: \(\frac{{CH}}{{AB}} = \frac{{9}}{{4}}\)

Из этого можно сделать вывод, что \(BC = AB + CH = AB + AB \cdot \frac{{9}}{{4}} = AB(1 + \frac{{9}}{{4}}) = AB \cdot \frac{{13}}{{4}}\).

4. Заменим выражение для BC в формуле длины стороны треугольника:

\(\frac{{97}}{{81}}(AB \cdot \frac{{13}}{{4}})^2 = AC^2\)

\(\frac{{97 \cdot 169}}{{81 \cdot 16}} AB^2 = AC^2\)

\(\frac{{16313}}{{1296}} AB^2 = AC^2\)

5. Так как \(AB^2 + BC^2 = AC^2\), мы можем написать:

\(AB^2 + (\frac{{13}}{{4}} AB)^2 = \frac{{16313}}{{1296}} AB^2\)

\(1 + (\frac{{13}}{{4}})^2 = \frac{{16313}}{{1296}}\)

\(1 + \frac{{169}}{{16}} = \frac{{16313}}{{1296}}\)

\(\frac{{161}}{{16}} = \frac{{16313}}{{1296}}\)

Найдем \(AB\):

\(AB = \sqrt{\frac{{16313}}{{1296}} \cdot \frac{{16}}{{161}}}\)

\(AB \approx 11.46\)

Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольного треугольника ABC составляет примерно 11.46.