Чему равна длина интервала, на котором функция f(x) = -x^3/3 - 13x^2/2 + 14x + 13 возрастает?

Для определения длины интервала, на котором функция возрастает, нам нужно найти значения \(x\), на которых производная функции \(f"(x)\) положительна.

Для начала, найдем производную функции \(f(x)\). Производная функции представляет собой скорость изменения функции в каждой точке:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(-\frac{x^3}{3} - \frac{13x^2}{2} + 14x + 13)\]

Чтобы найти производную, мы можем применить правила дифференцирования. Давайте найдем производные каждого слагаемого по отдельности:

\[\frac{d}{dx}(-\frac{x^3}{3}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 = -x^2\]
\[\frac{d}{dx}(-\frac{13x^2}{2}) = -\frac{13}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = -\frac{13}{2} \cdot 2x = -13x\]
\[\frac{d}{dx}(14x) = 14\]
\[\frac{d}{dx}(13) = 0\]

Теперь мы можем записать производную функции \(f(x)\) как:

\[f"(x) = -x^2 - 13x + 14\]

Чтобы найти значения \(x\), на которых функция возрастает, нам нужно найти корни уравнения \(f"(x) > 0\).

Решим это уравнение:

\[-x^2 - 13x + 14 > 0\]

Для этого можно воспользоваться графиком функции или применить методы решения квадратных неравенств. Однако, в данном случае можно упростить задачу, заметив, что коэффициент \(а\) при \(x^2\) отрицательный, следовательно, график функции \(f"(x)\) будет направлен вниз.

Перепишем неравенство в виде уравнения и найдем его корни:

\[-x^2 - 13x + 14 = 0\]

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

Применяя второй метод, мы находим:

\[x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(-1)(14)}}{2(-1)}\]
\[x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - (-56)}}{-2}\]
\[x = \frac{13 \pm \sqrt{225}}{-2}\]
\[x = \frac{13 \pm 15}{-2}\]

Таким образом, получаем два корня \(x_1 = -14\) и \(x_2 = -1\).

Теперь мы можем определить длину интервала, на котором функция \(f(x)\) возрастает, используя найденные корни. Выбираем отрезки между корнями и проверяем, как меняется знак производной на этих отрезках.

Для отрезка \((- \infty, -14)\), у нас нет никаких корней внутри интервала, и производная отрицательна на всем этом интервале, значит функция убывает на этом отрезке.

Для отрезка \((-14, -1)\), у нас есть один корень внутри интервала \(x = -1\). Заметим, что производная меняет знак на этом корне, переходя с отрицательного на положительное значение. Следовательно, эта точка является точкой локального минимума. На отрезке \((-14, -1)\) функция возрастает.

Для отрезка \((-1, + \infty)\), у нас нет никаких корней внутри интервала, и производная положительна на всем этом интервале, значит функция возрастает на этом отрезке.

Из этого анализа можно сделать вывод о том, что функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-14, -1)\).

Таким образом, длина этого интервала составляет \(-1 - (-14) = 13\) единиц длины.