Чему равен периметр треугольника, в котором вершины являются серединами сторон треугольника ABC, если координаты точек

Чтобы найти периметр треугольника, в котором вершины являются серединами его сторон, нам необходимо вычислить длины сторон треугольника. Далее мы суммируем найденные длины сторон, чтобы получить периметр.

Для начала найдем координаты середин сторон треугольника ABC. Используя формулу для нахождения координат середины отрезка, мы можем найти координаты точек D, E и F, которые являются серединами отрезков AB, BC и AC соответственно.

Координаты точки D (середины отрезка AB) мы можем найти по следующей формуле:

\[D = \left(\frac{{x_A + x_B}}{2}, \frac{{y_A + y_B}}{2}\right)\]

Подставляя данное значение в формулу, получаем:

\[D = \left(\frac{{-4 + 0}}{2}, \frac{{0 + 6}}{2}\right) = (-2, 3)\]

Аналогично, координаты точек E (середины отрезка BC) и F (середины отрезка AC) можно найти следующим образом:

Для точки E:

\[E = \left(\frac{{x_B + x_C}}{2}, \frac{{y_B + y_C}}{2}\right)\]
\[E = \left(\frac{{0 + 4}}{2}, \frac{{6 + (-2)}}{2}\right) = (2, 2)\]

Для точки F:

\[F = \left(\frac{{x_A + x_C}}{2}, \frac{{y_A + y_C}}{2}\right)\]
\[F = \left(\frac{{-4 + 4}}{2}, \frac{{0 + (-2)}}{2}\right) = (0, -1)\]

Теперь у нас есть координаты середин трех сторон треугольника: D(-2, 3), E(2, 2) и F(0, -1).

Для нахождения длин сторон треугольника ABC мы можем воспользоваться формулой расстояния между двумя точками на плоскости. Формула для расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) имеет вид:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Применяя эту формулу для каждой из сторон треугольника ABC, мы можем найти их длины:

Для стороны AD:

\[AD = \sqrt{{(-2 - (-4))^2 + (3 - 0)^2}} = \sqrt{{2^2 + 3^2}} = \sqrt{13}\]

Для стороны BE:

\[BE = \sqrt{{(2 - 0)^2 + (2 - 6)^2}} = \sqrt{{2^2 + (-4)^2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

Для стороны CF:

\[CF = \sqrt{{(0 - 4)^2 + (-1 - (-2))^2}} = \sqrt{{(-4)^2 + 1^2}} = \sqrt{17}\]

Теперь мы можем найти периметр треугольника, просуммировав длины сторон:

Периметр треугольника ABC = AD + BE + CF = \(\sqrt{13} + 2\sqrt{5} + \sqrt{17}\)

Округляя это значение до сотых, получаем:

Периметр треугольника ABC ≈ 8.17